Малые колебания системы с одной степенью свободы. Власов Ю.Л. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные и
стационарные связи, состоит из N точек и движется вблизи положения
равновесия. Ее кинетическая энергия
При сделанных допущениях о стационарных связях, радиус-вектор r
k
каждой точки системы зависит от времени только через обобщенную координату
q, следовательно,
Подставив это значение в выражение кинетической энергии (1.2), получим:
Обозначив
получим выражение для кинетической энергии системы
Величина А, как и r
k
может зависеть только от обобщенной координаты q и
не зависит от обобщенной скорости q. Разлагая А(q) в окрестности q = 0 в
степенной ряд, имеем:
Здесь и дальше индекс 0 означает, что соответствующие величины следует
вычислять при q = 0.
Так как рассматриваем весьма малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.3) ограничимся только первым постоянным членом
А
0
, которое обозначим а.
Итак, выражение кинетической энергии после отбрасывания членов второго
и более высокого порядка, можно представить в виде
(1.2)
2
1
2
1
.
1
2
1
2
∑∑
==
==
N
k
kk
N
k
k
k
.
rmvmT
2
2
.
2
q
q
r
.
r
k
k
=
∂
∂
2
1
.
2
.
1
∂
∂
=
∑
=
q
q
r
mT
k
N
k
k
,
2
1
∂
∂
=
∑
=
q
r
mА
k
N
k
k
.
2
1
2
.
qАT =
(1.3) ...
2
)(
2
0
2
2
0
0
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
q
q
A
q
q
А
АqА
(1.4) .
2
1
2
.
qaT =
      Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные и
стационарные связи, состоит из N точек и движется вблизи положения
равновесия. Ее кинетическая энергия
                          1 N        2    1 N         .
                     T = ∑ m k v k = ∑ m k r k2 .                         (1.2)
                          2 k =1          2 k =1
      При сделанных допущениях о стационарных связях, радиус-вектор rk
каждой точки системы зависит от времени только через обобщенную координату
q, следовательно,
                                 .
                                   2  ∂ r k 
                                                 2
                                                   .2
                                 r k =           q
                                        ∂q 
      Подставив это значение в выражение кинетической энергии (1.2), получим:

                                           ∂rk . 
                                                        2
                               1   N
                           T =
                               2   ∑ m k  ∂ q q  .
                                   k =1           
     Обозначив
                                                   2
                                    N     ∂r k   
                               А = ∑ mk          ,
                                                  
                                   k =1   ∂q     

получим выражение для кинетической энергии системы

                                         1 .2
                                   T=      Аq .
                                         2

      Величина А, как и rk может зависеть только от обобщенной координаты q и
не зависит от обобщенной скорости q. Разлагая А(q) в окрестности q = 0 в
степенной ряд, имеем:
                                       ∂А      ∂2 A q2
                         А(q) = А0 +   q +  2      + ...         (1.3)
                                       ∂q  0   ∂q  0 2
       Здесь и дальше индекс 0 означает, что соответствующие величины следует
вычислять при q = 0.
      Так как рассматриваем весьма малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.3) ограничимся только первым постоянным членом
А0, которое обозначим а.


      Итак, выражение кинетической энергии после отбрасывания членов второго
и более высокого порядка, можно представить в виде

                                           1 .2
                                        T = aq .                           (1.4)
                                           2

Страницы