Малые колебания системы с одной степенью свободы. Власов Ю.Л. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Дифференциальное уравнение (1.7) является однородным линейным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
следует искать в виде
После подстановки этого выражения в уравнение (1.7) получаем
характеристическое уравнение для (1.7):
Это квадратное уравнение имеет два мнимых корня
λ
1,2
= ± ki.
На основе теории дифференциальных уравнений решение уравнения (1.7)
можно представить в виде
и для обобщенной скорости
Произвольные постоянные С
1
и С
2
определяются из начальных условий:
где q
0
и q
0
– начальные значения обобщенной координаты и обобщенной
скорости.
После подстановки начальных условий в (1.8) и (1.9), получаем:
Уравнение (1.7) примет вид:
Уравнение (1.10) – одна из двух основных форм выражения свободных
колебаний системы.
Представим выражение для обобщенной координаты в другой, так
называемой амплитудной форме:
Из сравнения с (1.8) новые постоянные А и
α
через постоянные С
1
и С
2
выразятся формулами:
Отсюда
.
t
eq
λ
=
.0
22
=
+
k
λ
(1.8) sincos
21
k
t
Ck
t
Cq
+
=
(1.9) .cossin
21
.
ktkCktkCq +−=
,,
0
0
..
;0при qqqqt ===
.C
.
0
201
,
k
q
qС ==
(1.10) .sincos
0
0
.
kt
k
q
ktqq +=
.sincoscossin)sin( k
t
A
k
t
A
k
t
A
q ⋅
+
⋅
=
+
=
α
α
α
.cos ,sin
21
α
α
A
C
A
С
=
=
(1.11) . ,cos ,sin ,
2
121
2
2
2
1
C
C
tg
A
C
A
C
CCA ==== +
ααα
     Дифференциальное уравнение (1.7) является однородным линейным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение
следует искать в виде
                                                q = e λt .

     После подстановки этого выражения                       в     уравнение   (1.7)   получаем
характеристическое уравнение для (1.7):

                                          λ 2 + k 2 = 0.

    Это квадратное уравнение имеет два мнимых корня λ1,2 = ± ki.
    На основе теории дифференциальных уравнений решение уравнения (1.7)
можно представить в виде
                                   q = C1 cos kt + C 2 sin kt                              (1.8)

и для обобщенной скорости
                              .
                              q = −C1k sin kt + C 2 k cos kt.                              (1.9)

      Произвольные постоянные С1 и С2 определяются из начальных условий:
                                                                 . .
                                  при t = 0; q = q 0 ,           q = q0 ,

где q0 и q0 – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной
скорости.
     После подстановки начальных условий в (1.8) и (1.9), получаем:
                                                             .
                                                          q
                                   С1 = q 0 ,         C2 = 0 .
                                                           k
      Уравнение (1.7) примет вид:
                                                        .
                                            q
                            q = q 0 cos kt + 0 sin kt.           (1.10)
                                             k
     Уравнение (1.10) – одна из двух основных форм выражения свободных
колебаний системы.
     Представим выражение для обобщенной координаты в другой, так
называемой амплитудной форме:
                       q = A sin(kt + α ) = A sin α ⋅ cos kt + A cosα ⋅ sin kt.
     Из сравнения с (1.8) новые постоянные А и α через постоянные С1 и С2
выразятся формулами:
                            С1 = A sin α ,       C 2 = A cosα .
     Отсюда
                                      C                    C                    C
        A = C12 + C 22 ,      sin α = 1 ,         cos α = 2 ,          tgα = 1 .  (1.11)
                                       A                     A                 C2

Страницы