Математика и информатика. Власов В.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Решение (задача 3): по условию задачи яблоко можно выбрать пятью
способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо
яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить
5+4=9 способами.
Размещение, сочетание, перестановка.
Для изучения таких понятий как размещение, сочетание, перестановка
нам понадобится познакомиться с таким числом как факториал. Число
факториал было введено математиками искусственно, для упрощения
выражения.
Произведение первых подряд идущих
n натуральных чисел договоримся
обозначать через
n! (читать: n-факториал), т.е.
nnnn
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
)1()2(...321!
0!=1
1!=1
2!=1
⋅2=2
3!=1
⋅2⋅3=6
4!=1
⋅2⋅3⋅4=24 и т.д.
Рассмотрим произвольное n-элементное множество. Пусть 0
≤k≤n, тогда
произвольное k-элементное подмножество, в котором важен
порядок
расположения элементов, называется k-элементным
размещением. Количество
всех k-элементных размещений на n-элементном множестве и обозначается.
k
n
A
Теорема:
)!(
!
kn
n
k
n
A
−
=
Доказательство
Рассмотрим n-элементное множество A = {a
1
, a
2
, a
3
,…, a
n
}.
1)
Берем первый элемент a
1
, для него существует n способов выбора;
2)
для второго элемента a
2
существует
)1(
−
n
способов выбора. По правилу
произведения пару (a
1
, a
2
) можно выбрать способами;
3)
для третьего элемента a
3
существует )2(
−
n способа выбора;
(a
1
, a
2
, a
3
) ⇒ )3()2()1(
−
⋅
−⋅−
⋅
nnnn ;
4)
для k-того элемента a
k
существует )1())1((
+
−
=
−
−
k
n
k
n способа выбора
(a
1
, a
2
, a
3
, …, a
k
) ⇒
)1(...)2()1(
+
−
⋅
⋅
−
⋅
−⋅
k
nnnn
;
5)
получим, что упорядоченный набор из k элементов можно выбрать:
)!(
!
)1(...)2()1(
kn
n
knnnn
−
=+−⋅⋅−⋅−⋅
умножим и разделим произведение на 123...)2()1()(
⋅
⋅
⋅
⋅−−⋅
−
−
⋅
−
k
n
k
n
k
n
и по определению факториала получим формулу:
)!(
!
123...)2()1()(
123...)2()1()()1(...)2()1(
kn
n
knknkn
k
n
k
n
k
n
k
nnnn
−
=
⋅⋅⋅⋅−−⋅−−⋅−
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+−⋅
⋅
−⋅−⋅
Что и требовалось доказать.
22

Страницы