Компьютерная математика: Часть 1. Теория множеств и комбинаторика. Волченская Т.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
Доказательство
Если х
∈ A ∩ (B ∪ C) => x ∈ A и x ∈ (B ∪ C) => x ∈ A и
(x
∈ B или x ∈ C) => (x ∈ A и x ∈ B) или ( x ∈ A и x ∈ C) =>
(x
∈ A ∩ B) или (x ∈ A ∩ C) => x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Рис. 14
Таким образом, A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Необходимо дока-
зать включение в обратную сторону:
x
∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) => (x ∈ A ∩ B) или (x ∈ A ∩ C) =>
(x
∈ A и x ∈B ) или ( x ∈ A и x ∈ C) => x ∈ A и (x ∈ B или x ∈C) => x
∈ A и x ∈ (B ∪ C) => x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Следовательно, A
∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Докажем закон де Моргана
ВАВА ∪=∩ .
Графическая интерпретация представлена на рис. 15.
А
В
Е
А
В
Е
Рис. 15
Е
А
B
C
Е
А
B
C
Рис. 14 
      Доказательство
      Если х ∈ A ∩ (B ∪ C) => x ∈ A и x ∈ (B ∪ C) => x ∈ A и
(x ∈ B или x ∈ C) => (x ∈ A и x ∈ B) или ( x ∈ A и x ∈ C) =>
(x ∈ A ∩ B) или (x ∈ A ∩ C) => x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
                                                                      Е
                            Е
                                                    А
        А                                                   B
                 B

                                                        C
             C
                                Рис. 14


                                          Рис. 14
      Таким образом, A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Необходимо дока-
зать включение в обратную сторону:
      x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) => (x ∈ A ∩ B) или (x ∈ A ∩ C) =>
      (x ∈ A и x ∈B ) или ( x ∈ A и x ∈ C) => x ∈ A и (x ∈ B или x ∈C) => x
∈ A и x ∈ (B ∪ C) => x ∈ A ∩ (B ∪ C).
      Следовательно, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
      Докажем закон де Моргана
     А∩В = А∪В.
     Графическая интерпретация представлена на рис. 15.

                                Е                                    Е


         А                                          А
                     В                                      В




                                          Рис. 15




                                     18

Страницы