Надежность функционирования систем электроснабжения. Волков Н.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

60
вание (выключатели, трансформаторы, приводы и т. п.). Это оборудова-
ние может находиться в исключающем друг друга состояниях (исправно
или неисправно, включено или выключено и т. д.).
Произведем n независимых опытов, в каждом из которых может
появиться или не появиться некоторое событие А (например, выклю-
чатель включен). Вероятность появления события А в
каждом опыте
равна p, а вероятность непоявления q = 1 – p. Требуется найти вероят-
ность
р
m
n
того, что событие А в этих n опытах появится ровно m раз.
Рассмотрим сложное событие В
m
, состоящее в том, что событие
А появится в n опытах ровно m раз. Это событие может осуществить-
ся различными способами. Представим событие В
m
как сумму произве-
дений событий, состоящих в появлении или непоявлении события А в
отдельном опыте. Будем обозначать А
i
появление события А в i-м
опыте;
А
i
– непоявление события А в i-м опыте.
Очевидно, каждый вариант появления события В
m
(каждый член
суммы) должен состоять из m появлений события А и n-m непоявле-
ний, т. е. из m событий А и n-m событий
А
с различными индексами.
Тогда
,......
...............
1
21
1
3
2
1
1
21
AА
AAA
A
A
A
A
A
AA
AAAB
nmn
mn
n
nnm
mm
+−
−
−+
+
+++=
(3.1)
причем в этом выражении в каждое произведение событие А должно
входить m раз, а
А
должно входить n-m раз.
Число всех комбинаций такого рода равно
С
m
n
, т. е. числу спосо-
бов, какими можно из n опытов выбрать m, в которых произошло со-
бытие А. Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умножения
для независимых событий, равна
q
mn
m
−
ρ
. Так как комбинации между
собой несовместны, то, по теореме сложения, вероятность сложного со-
бытия В
m
будет равна
,...
qp
C
qpqp
P
mnm
m
n
mnmmnm
m
n
−−−
=++=
где
C
m
n
– число слагаемых вида
qp
mnm −
, равное числу комбинаций.
Таким образом, если производится n независимых опытов, в ка-
ждом из которых событие А появится с вероятностью p, то вероятность
того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой:
,
)!(!
!
qp
mnm
n
qp
C
P
mnmmnm
m
n
m
n
−−
−
==
(3.2)

Страницы