Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
(n)
θ
f(X
(n)
|θ) = θ
X
n
1
X
k
(1 − θ)
n−
X
n
1
X
k
.
θ
θ = (1/n)
X
n
1
X
k
.
f
n
(x
(n)
|θ), x
(n)
∈ R
n
, θ ∈
Θ. x
(n)
n
R
n
.
V
ε
=
Y
n
1
[ x
k
−ε/2; x
k
+ε/2].
P
¡
X
(n)
∈ V
ε
¢
∼ f
n
(x
(n)
|θ) ·ε
n
,
ε → 0.
x
(n)
, ε,
θ ∈ Θ f
n
.
x
(n)
θ f
n
(x
(n)
|θ
X ∼
N(µ, σ
2
),
f
n
(x
(n)
|θ) =
1
(2π)
n/2
σ
n
exp
½
−
1
2σ
2
X
n
1
(x
k
− µ)
2
¾
,
θ = (µ, σ)
f
n
(X
(n)
|µ, θ) µ ∈ R σ ∈ R
+
.
  Ðàññìîòðèì ñðàçó æå ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü X (n)  âûáîðêà â ñõåìå
Áåðíóëëè, è ìû îöåíèâàåì âåðîÿòíîñòü θ óñïåøíîãî èñõîäà. Â ýòîé ìîäåëè
                                         Xn                        Xn
                                              Xk              n−        Xk
                     f (X (n) | θ) = θ    1         (1 − θ)         1        .

Äèôôåðåíöèðóÿ ýòó ôóíêöèþ ïî θ è ïðèðàâíèâàÿ ïðîèçâîäíóþ  Xn         íóëþ, íà-
õîäèì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ θ = (1/n)             Xk . Ýòî  äàâ-
                                                             1
íî çíàêîìàÿ íàì îöåíêà âåðîÿòíîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè, êî-
òîðóþ ìû ïîëó÷èëè ñ ïîìîùüþ ìîìåíòîâ è ïîñòîÿííî èñïîëüçîâàëè ïðè
èëëþñòðàöèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë.
   Òåïåðü îïðåäåëèì ïðàâäîïîäîáèå â ñëó÷àå âûáîðà èç íåïðåðûâíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè (ïî ìåðå Ëåáåãà) fn (x(n) | θ), x(n) ∈ Rn , θ ∈
Θ. Ïóñòü x(n)  ñîâîêóïíîñòü âûáîðî÷íûõ äàííûõ, òî åñòü òî÷êà â n-ìåðíîì
âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâå Rn . Îêðóæèì ýòóY    òî÷êó ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàë-
                                               n
ëåëåïèïåäîì ìàëîãî ðàçìåðà, ñêàæåì, Vε =         [ xk − ε/2; xk + ε/2]. Â ñèëó
                                               1
òåîðåìû î ñðåäíåì äëÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà âåðîÿòíîñòü
                                              ¡ (n)       òîãî,
                                                           ¢    ÷òî âûáîðî÷-
íûé âåêòîð ïîïàäåò â ýòîò ïàðàëëåëåïèïåä P X ∈ Vε ∼ fn (x(n) | θ) · εn ,
êîãäà ε → 0. Åñëè òðàêòîâàòü ýòó âåðîÿòíîñòü, êàê ïðàâäîïîäîáèå ðåçóëü-
òàòà x(n) , êîòîðîå, êîíå÷íî, çàâèñèò îò âûáîðà ìàëîãî ε, ìû âèäèì, ÷òî
ïðîáëåìà ìàêñèìèçàöèè ïðàâäîïîäîáèÿ ñâîäèòñÿ ê ïðîáëåìå îòûñêàíèÿ
òî÷êè äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ïî âñåì θ ∈ Θ ó ôóíêöèè ïëîòíîñòè fn .
Òàêèì îáðàçîì, è â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçóìíî íàçâàòü
ïðàâäîïîäîáèåì ðåçóëüòàòà x(n) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà
θ îïÿòü-òàêè âåëè÷èíó ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûáîðêè, òî åñòü fn (x(n) | θ), è
îïðåäåëèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ òîé æå ôîðìóëîé (1).
   Ðàññìîòðèì ïðèìåð íà ïîñòðîåíèå òàêîé îöåíêè â ñëó÷àå âûáîðà èç
íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü íàáëþäàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ∼
N (µ, σ 2 ), òàê ÷òî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûáîðêè
                                                ½                 ¾
                    (n)              1             1 Xn         2
            fn (x         | θ) =             exp − 2    (xk − µ) ,
                                 (2π)n/2 σ n      2σ  1

ãäå θ = (µ, σ)  äâóìåðíûé ïàðàìåòð, çíà÷åíèå êîòîðîãî íàì íåèçâåñòíî.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1) íåîáõîäèìî îòûñêàòü òî÷êó äîñòèæåíèÿ
ìàêñèìóìà ôóíêöèè fn (X (n) | µ, θ) ïî ïåðåìåííûì µ ∈ R è σ ∈ R+ . Åñòå-
ñòâåííî, ëîãàðèôì ýòîé ôóíêöèè èìååò òå æå òî÷êè ýêñòðåìóìà, ÷òî è
ñàìà ôóíêöèÿ, íî ëîãàðèôìèðîâàíèå óïðîùàåò âûêëàäêè, ïîýòîìó èùåì


                                              196

Страницы