Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L, L(·|x
(n)
)
θ
1
, . . . , θ
k
θ, L L.
∂L(θ |X
(n)
)
∂θ
i
= 0, i = 1, . . . , k (2)
L(·|X
(n)
), θ
U(0, θ) [ 0; θ ]
f(x |θ) = θ
−1
, 0 ≤ x ≤ θ, f(x |θ) = 0
L(θ |X
(n)
) θ
−n
θ ≥ X
(n)
= max
1≤k≤n
X
k
. θ
θ = X
(n)
, X
(n)
X
(n)
θ.
θ 2X.
R(θ;
ˆ
θ
n
) = E
θ
³
ˆ
θ
n
(X
(n)
) − θ
´
2
.
R(θ; 2X) =
O(n
−1
), R(θ; X
(n)
) = O(n
−2
).
G(a, λ).
f(x |θ) =
1
a
λ
Γ(λ)
x
λ−1
exp
n
−
x
a
o
, x > 0, θ = (a, λ),
òå æå, ÷òî è ó ôóíêöèè L, íî åñëè ôóíêöèÿ L(· | x(n) ) èìååò íåïðåðûâíûå
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êîìïîíåíòàì θ1 , . . . , θk ïàðàìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà
θ, òî ïðîùå äèôôåðåíöèðîâàòü L ÷åì L.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé
                        ∂L(θ | X (n) )
                                       = 0, i = 1, . . . , k               (2)
                           ∂θi
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ïðàâäîïîäîáèÿ. Ýòî åùå îäíà ðàçíîâèäíîñòü òàê
íàçûâàåìûõ îöåíî÷íûõ óðàâíåíèé,  â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû èìåëè
äåëî ñ óðàâíåíèÿìè ìåòîäà ìîìåíòîâ.
   Ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (2), äîñòàâëÿþùåå ìàêñèìóì ôóíê-
öèè L(· |X (n) ), ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îöåíêà θ ïî ìåòîäó ìàêñèìàëü-
íîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ìû íå áóäåì èçó÷àòü ñëó÷àè, êîãäà ñèñòåìà (2) èìååò
íåñêîëüêî ðåøåíèé ñ âîçìîæíî îäèíàêîâûìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðàâ-
äîïîäîáèÿ â ýòèõ òî÷êàõ, òàê ÷òî òðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå àïðèîðíûå
çíàíèÿ îòíîñèòåëüíî âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, ïîçâîëÿþùèå âûáðàòü îäíî
èç ýòèõ ðåøåíèé. Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ íèæå ïðèìåðàõ îöåíêà ìàêñè-
ìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ åäèíñòâåííà.
   Ï ð è ì å ð 4. 1. Îöåíêà ïàðàìåòðà ïîëîæåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ U(0, θ). Ðàâíîìåðíîå íà îòðåçêå [ 0; θ ] ðàñïðåäåëåíèå èìååò ôóíêöèþ
ïëîòíîñòè f (x | θ) = θ−1 , åñëè 0 ≤ x ≤ θ, è f (x | θ) = 0 âíå ýòîãî îòðåçêà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ L(θ | X (n) ) îòëè÷íà îò íóëÿ è ðàâíà θ−n òîëüêî â
îáëàñòè θ ≥ X(n) = max1≤k≤n Xk . Åå ìàêñèìóì ïî θ äîñòèãàåòñÿ â ãðàíè÷-
íîé òî÷êå θ = X(n) , òàê ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå X(n) âûáîðêè X (n) åñòü
îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà θ.
   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îöåíêà θ ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ ðàâíà 2X. Ýòà îöåí-
êà íà ïîðÿäîê õóæå îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ
                                    ³            ´2
                                           (n)
êâàäðàòè÷íîãî ðèñêà R(θ; θ̂n ) = E θ θ̂n (X ) − θ . Ïðîñòûå âû÷èñëåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîêàçûâàþò, ÷òî R(θ; 2X) =
O(n−1 ), â òî âðåìÿ êàê R(θ; X(n) ) = O(n−2 ). Äàííûé ïðèìåð èíòåðåñåí
òåì, ÷òî çäåñü ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ íå èìååò ãëàäêîãî ìàêñèìóìà, è
èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì, îáåñïå÷èâàåò
òàêîå ðàçëè÷íîå ïîâåäåíèå ðèñêà ðàññìàòðèâàåìûõ îöåíîê.
   Ï ð è ì å ð 4. 2. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ G(a, λ). Ó ýòî-
ãî ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
                          1        n xo
                               λ−1
            f (x | θ) = λ     x exp −   , x > 0, θ = (a, λ),
                       a Γ(λ)         a
                                        198

Страницы