Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a b n y
1
, . . . , y
n
x
1
, . . . , x
n
x,
x
1
, . . . , x
n
y
1
, . . . , y
n
n
Y
1
, . . . , Y
n
, Y
k
∼ N(a + bx
k
, σ
2
), k = 1, . . . , n.
Y
1
, . . . , Y
n
f
n
(y
(n)
) |a, b, σ) =
1
(2π)
n/2
σ
n
exp
½
−
1
2σ
2
X
n
1
(y
k
− a − bx
k
)
2
)
¾
,
a b σ
L(a, b, σ |Y
(n)
) = −
n
2
ln 2π − n ln σ −
1
2σ
2
n
X
1
(Y
k
− a − bx
k
)
2
.
a b σ,
n
X
1
(Y
k
− a − bx
k
) = 0,
n
X
1
x
k
(Y
k
− a − bx
k
) = 0,
nσ
2
−
n
X
1
(Y
k
− a − bx
k
)
2
= 0.
ˆa
n
= Y −
m
x Y
s
2
x
x,
ˆ
b
n
=
m
x Y
s
2
x
, ˆσ
2
=
1
n
n
X
1
³
Y
k
− ˆa
n
−
ˆ
b
n
x
k
´
2
,
x =
1
n
n
X
1
x
k
, Y =
1
n
n
X
1
Y
k
, s
x
=
1
n
n
X
1
(x
k
− x)
2
, S
Y
=
1
n
n
X
1
(Y
k
− Y )
2
,
   Äëÿ îöåíêè a è b ïðîèçâîäèòñÿ n èçìåðåíèé îòêëèêà y1 , . . . , yn ïðè
íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ x1 , . . . , xn ðåãðåññîðà x, îïòèìàëü-
íûé âûáîð êîòîðûõ, îáåñïå÷èâàþùèé íàèáîëüøóþ òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü
êàëèáðîâêè, ñîñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíóþ çàäà÷ó îñîáîé îáëàñòè ìàòåìà-
òè÷åñêîé ñòàòèñòèêè  ïëàíèðîâàíèå ðåãðåññèîííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ìû
áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ x1 , . . . , xn àïðèîðè ôèêñèðîâàíû.  òà-
êîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ y1 , . . . , yn ïðåäñòàâëÿþò ðåàëèçàöèè n íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , . . . , Yn , è Yk ∼ N (a + bxk , σ 2 ), k = 1, . . . , n. Ñîâ-
ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè Y1 , . . . , Yn ðàâíà
                                             ½    Xn                   ¾
                                    1           1
       fn (y (n) ) | a, b, σ) =     n/2 n
                                          exp − 2    (yk − a − bxk )2 ) ,
                                (2π) σ         2σ  1

òàê ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ îöåí-
êè ïàðàìåòðîâ a, b è σ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò âèä
                                                                         n
                        (n)        n                 1 X
        L(a, b, σ | Y         ) = − ln 2π − n ln σ − 2   (Yk − a − bxk )2 .
                                   2                2σ 1

  Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå ýòîé ôóíêöèè ïî ïåðåìåííûì a, b è σ, ïîëó÷àåì
óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
                                       n
                                       X
                                         (Yk − a − bxk ) = 0,
                                           1
                                   n
                                   X
                                               xk (Yk − a − bxk ) = 0,
                                       1
                                               n
                                               X
                                   2
                               nσ −                  (Yk − a − bxk )2 = 0.
                                                1
Êîíå÷íî, ýòî î÷åíü ïðîñòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé íå ìîæåò
âûçûâàòü êàêèõ-ëèáî çàòðóäíåíèé, è ìû ñðàçó ïèøåì îöåíêè ìàêñèìàëü-
íîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
                                                                1 X³                  ´2
                                                                    n
                mx Y                    mx Y                  2
       ân = Y − 2 x,              b̂n = 2 ,               σ̂ =      Yk − ân − b̂n xk ,
                 sx                      sx                     n 1
ãäå
         n                     n                              n                  n
    1X           1X                                      1X          2       1X
 x=     xk , Y =     Yk ,                           sx =     (xk − x) , SY =     (Yk − Y )2 ,
    n 1          n 1                                     n 1                 n 1

                                                        200

Страницы