Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m
x Y
=
1
n
n
X
1
(x
k
− x)(Y
k
− Y ).
a b
X
n
1
(Y
k
− a − bx
k
)
2
,
Y
a + bx.
µ
1
, µ
2
, σ
2
1
, σ
2
2
, ρ
f(x, y |θ) =
1
2πσ
1
σ
2
p
1 − ρ
2
·
exp
½
−
1
2(1 − ρ
2
)
µ
(x − µ
1
)
2
σ
2
1
− 2ρ
(x − µ
1
)(y − µ
2
)
σ
1
σ
2
+
(y − µ
2
)
2
σ
2
2
¶¾
ˆµ
1,n
= X, ˆµ
2,n
= Y , ˆσ
2
1,n
= S
2
X
, ˆσ
2
2,n
= S
2
Y
, ˆρ
n
= r.
X Y ,
S
2
1
S
2
2
, r
Y = a + bX Y
X.
y = µ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
(x − µ
1
).
                                    n
                                1X
                       mx Y   =     (xk − x)(Yk − Y ).
                                n 1
   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îöåíêè ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðà-
ìåòðîâ a è b ñîâïàäàþò ñ èõ îöåíêàìè ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
 ýòîì ìåòîäå âûðàâíèâàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ
                                                    Xn îöåíêè èùóòñÿ
èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè ñóììû êâàäðàòîâ íåâÿçîê:          (Yk − a − bxk )2 ,
                                                       1
ïðè÷åì ïîä íåâÿçêîé ïîíèìàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó îòêëèêîì Y è åãî òåî-
ðåòè÷åñêèì ñðåäíèì çíà÷åíèåì a + bx.
  Ï ð è ì å ð 4. 4. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ: çàäà÷è ðåãðåññèè è ïðîãíîçà. Îöåíêà ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâ-
äîïîäîáèÿ ïÿòè ïàðàìåòðîâ µ1 , µ2 , σ12 , σ22 , ρ äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                                 1
                         f (x, y | θ) =          p       ·
                                          2πσ1 σ2 1 − ρ2
        ½              µ                                               ¶¾
                1        (x − µ1 )2      (x − µ1 )(y − µ2 ) (y − µ2 )2
     exp −                          − 2ρ                   +
            2(1 − ρ2 )      σ12                σ1 σ2           σ22
íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîé òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè. Ýòè îöåíêè ñîâïàäàþò ñ
îöåíêàìè ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ è, òàêèì îáðàçîì, ðàâíû âûáîðî÷íûì àíà-
ëîãàì òåõ õàðàêòåðèñòèê äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå
ñîîòâåòñòâóþò óêàçàííûì ïÿòè ïàðàìåòðàì:
                                     2      2     2
            µ̂1,n = X, µ̂2,n = Y , σ̂1,n = SX , σ̂2,n = SY2 , ρ̂n = r.

Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûáîðî÷íûõ ñðåäíèõ X è Y , âûáîðî÷íûõ äèñ-
ïåðñèé S12 è S22 , à òàêæå âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè r ïðèâå-
äåíû ⠟2.
   Ïîëó÷åííûå îöåíêè ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ëèíåé-
íîãî ïðîãíîçà Y = a + bX çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ïî ðåçóëüòàòàì
íàáëþäåíèé X.  ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ëèíåéíûé ïðîãíîç
îáëàäàåò ñâîéñòâîì îïòèìàëüíîñòè ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàëîñòè ñðåäíåé êâàä-
ðàòè÷íîé îøèáêè è ñîâïàäàåò ñ êðèâîé ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ðåãðåññèè
(ñì. ïðåäëîæåíèå 10.3 êóðñà ÒÂ)
                                           σ2
                              y = µ2 + ρ      (x − µ1 ).
                                           σ1


                                          201

Страницы