Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
g(·)
(g
00
> 0)
X, E g(X)
E g(X) ≥ g(EX),
X
(X = const.).
g
µ =
EX :
g(X) = g(µ) + (X − µ)g
0
(µ) + (X − µ)
2
g
00
(µ + λ(X − µ))/2, 0 < λ < 1.
E g(X) = g(EX) + E(X − µ)
2
g
00
(µ + λ(X − µ))/2 ≥ g(EX).
E(X −µ)
2
g
00
(µ+λ(X−µ)) = 0.
g
00
> 0,
(X − µ)
2
= 0, X = const.
L(θ |X
(n)
) =
n
X
k=1
ln f(X
k
|θ) (3)
ˆ
θ
n
θ.
θ
0
∈ Θ
ε > 0 P
θ
0
³
|
ˆ
θ
n
− θ
0
| < ε
´
→ 1.
θ
0
θ, θ
0
Θ
ε (θ
0
−
ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå äîñòàòî÷íî ïðîñòîå, íî èãðàþùåå áîëü-
øóþ ðîëü â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íåðàâåíñòâî.
  Ëåììà 4.1. (íåðàâåíñòâî Éåíñåíà) Ïóñòü X  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ
êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Åñëè ôóíêöèÿ g(·) äâàæäû äèô-
ôåðåíöèðóåìà è âûïóêëà (g 00 > 0) íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì
íîñèòåëü ðàñïðåäåëåíèÿ X, è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E g(X) ñóùåñòâó-
åò, òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî E g(X) ≥ g(EX), ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà
äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå X ñîñðåäîòî÷åíî â
îäíîé òî÷êå (X = const.).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Òàê êàê ôóíêöèÿ g äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, òî
ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè µ =
EX :

 g(X) = g(µ) + (X − µ)g 0 (µ) + (X − µ)2 g 00 (µ + λ(X − µ))/2, 0 < λ < 1.

Âû÷èñëÿÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, ïî-
ëó÷àåì

       E g(X) = g(EX) + E(X − µ)2 g 00 (µ + λ(X − µ))/2 ≥ g(EX).

  Çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî â ñëó÷àå E(X −µ)2 g 00 (µ+λ(X −µ)) = 0.
Íî ïîñêîëüêó g 00 > 0, òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ íåîáõîäèìîñòüþ âëå÷åò
(X − µ)2 = 0, òî åñòü X = const.
  Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ñïðàâåäëèâà
  Òåîðåìà 4.1 (ñîñòîÿòåëüíîñòü). Åñëè ôóíêöèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîãî ïðàâ-
äîïîäîáèÿ
                                             n
                                             X
                                  (n)
                        L(θ | X         )=         ln f (Xk | θ)          (3)
                                             k=1
èìååò åäèíñòâåííûé ìàêñèìóì, òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè
(R1)(R3) òî÷êà θ̂n äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè (îöåíêà ìàêñè-
ìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ) ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Ïîêàæåì,
                                       ³ ÷òî äëÿ ëþáîãî
                                                    ´ ôèêñèðîâàííîãî θ0 ∈ Θ
è ëþáîãî ε > 0 âåðîÿòíîñòü Pθ0 | θ̂n − θ0 | < ε → 1.
   Åñëè θ0  èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ, òî â ñèëó óñëîâèÿ (R1) θ0
 âíóòðåííÿÿ òî÷êà Θ. Òîãäà ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå çàäà÷à ñîñòîèò â
äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ: â íåêîòîðîé ε-îêðåñòíîñòè (θ0 −

                                         203

Страницы