Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ε; θ
0
+ ε) L( ·|X
(n)
)
n → ∞.
A
n
=
n
L(θ
0
|X
(n)
) > L(θ
0
± ε |X
(n)
)
o
,
P
θ
0
(A
n
) → 1, P
θ
0
³
|
ˆ
θ
n
− θ
0
| < ε
´
≥ P
θ
0
(A
n
).
L
A
n
,
1
n
n
X
k=1
ln
f(X
k
|θ
0
± ε)
f(X
k
|θ
0
)
< 0.
E
θ
0
ln
f(X
k
|θ
0
± ε)
f(X
k
|θ
0
)
, (4)
g(x) = −ln x
E
θ
0
ln
f(X |θ
0
± ε)
f(X |θ
0
)
≤ ln E
θ
0
f(X |θ
0
± ε)
f(X |θ
0
)
=
ln
Z
X
f(x |θ
0
± ε)
f(x |θ
0
)
· f(x |θ
0
)dµ(x) = ln 1 = 0,
f(X |θ
0
± ε)
f(X |θ
0
)
= const.,
f(X |θ
0
±
ε) = f(X |θ
0
),
ε; θ0 + ε) ôóíêöèÿ L( · | X (n) ) îáëàäàåò ëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì ñ âåðîÿò-
íîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ ê åäèíèöå ïðè n → ∞.
   Íî åñëè ïðîèñõîäèò ñîáûòèå
                       n                                o
                                    (n)             (n)
                 An = L(θ0 | X ) > L(θ0 ± ε | X ) ,

òî âíóòðè ýòîé îêðåñòíîñòè èìååòñÿ òî÷êà ³ ìàêñèìóìà,´è íàì îñòàåòñÿ òîëü-
êî ïîêàçàòü, ÷òî P θ0 (An ) → 1, èáî P θ0 | θ̂n − θ0 | < ε ≥ P θ0 (An ).
   Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (R2) è âèä ôóíêöèè L (ñì. (3)), ïðåäñòàâèì íåðàâåí-
ñòâî, îïðåäåëÿþùåå ñîáûòèå An , â âèäå
                               n
                           1 X f (Xk | θ0 ± ε)
                              ln               < 0.
                           n      f (Xk | θ0 )
                              k=1

    ñèëó çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë Õèí÷èíà ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà
ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê
                                         f (Xk | θ0 ± ε)
                               E θ0 ln                   ,              (4)
                                            f (Xk | θ0 )
è äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå ñòðîãî ìåíüøå íóëÿ (êñòàòè, äîêàæèòå ñàìè, ÷òî ïðè
ñïðàâåäëèâîñòè óñëîâèé òåîðåìû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (4) âñåãäà ñó-
ùåñòâóåò, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë Õèí÷èíà íå ïðèìåíèì).
   Òàê êàê g(x) = − ln x  âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ, òî â ñèëó íåðàâåíñòâà Éåí-
ñåíà
                         f (X | θ0 ± ε)           f (X | θ0 ± ε)
               E θ0 ln                  ≤ ln E θ0                =
                            f (X | θ0 )              f (X | θ0 )
                    Z
                        f (x | θ0 ± ε)
               ln                      · f (x | θ0 )dµ(x) = ln 1 = 0,
                           f (x | θ0 )
                    X
ïðè÷åì ðàâåíñòâî íóëþ ïåðâîãî ÷ëåíà â ýòîé öåïî÷êå íåðàâåíñòâ âîçìîæíî
ëèøü â ñëó÷àå
                              f (X | θ0 ± ε)
                                             = const.,
                                 f (X | θ0 )
òî åñòü, ïîñêîëüêó èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ðàâåí 1, ëèøü â ñëó÷àå f (X | θ0 ±
ε) = f (X | θ0 ), ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó óñëîâèÿ (R3). Òàêèì îáðàçîì, ìà-
òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (4) ñòðîãî ìåíüøå íóëÿ, è ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äîêàçàíà.

                                           204

Страницы