Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
(n)
:
I
n
(θ) = E
θ
µ
∂ ln f
n
(X
(n)
|θ)
∂θ
2
.
1
0
.
I(θ) = −E
θ
∂
2
ln f(X |θ)
∂θ
2
.
2
0
.
I
n
(θ) = nI(θ)
1
0
.
E
θ
∂
2
ln f(X |θ)
∂θ
2
= E
θ
Ã
f
00
θθ
(X |θ)
f(X |θ)
−
µ
f
0
θ
(X |θ)
f(X |θ)
2
!
=
Z
X
f
00
θθ
(x |θ)
f(x |θ)
· f(x |θ)dµ(x) − I(θ) =
d
2
dθ
2
Z
X
f(x |θ)dµ(x) − I(θ) = −I(θ).
2
0
.
I
n
(θ) = E
θ
∂
X
n
1
ln f(X
k
|θ)
∂θ
2
=
E
θ
n
X
k=1
µ
∂ ln f(X
k
|θ)
∂θ
2
−
X
i6=j
∂ ln f(X
i
|θ)
∂θ
·
∂ ln f(X
j
|θ)
∂θ
=
n
X
k=1
E
θ
µ
∂ ln f(X
k
|θ)
∂θ
2
−
X
i6=j
E
θ
∂ ln f(X
i
|θ)
∂θ
· E
θ
∂ ln f(X
j
|θ)
∂θ
= nI(θ),
îïðåäåëèòü è èíôîðìàöèþ ïî Ôèøåðó, ñîäåðæàùóþñÿ â ñëó÷àéíîé âûáîð-
êå X (n) :                  µ              ¶                               2
                                ∂ ln fn (X (n) | θ)
                   In (θ) = E θ                     .
                                        ∂θ
  Ïðèâåäåì íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé, êàñàþùèõñÿ ñâîéñòâ èíôîðìàöèè ïî
Ôèøåðó.
  Ëåììà 4.2. 10 . Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (R4) â ÷àñòè (6) äëÿ âû÷èñëå-
íèÿ èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó
                                               ∂ 2 ln f (X | θ)
                                   I(θ) = − Eθ                  .
                                                     ∂θ2
20 . Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (R4) â ÷àñòè (5) èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó îáëà-
äàåò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè In (θ) = nI(θ)  èíôîðìàöèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ
â âûáîðêå, ðàâíà ñóììå èíôîðìàöèé, ñîäåðæàùèõñÿ â íàáëþäåíèè êàæäîé
åå êîìïîíåíòû.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. 10 . Óñëîâèå (R4) â ÷àñòè (6) îáåñïå÷èâàåò âîç-
ìîæíîñòü ñìåíû ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèè
ïëîòíîñòè, ïîýòîìó
                                                  Ã                 µ            ¶2 !
                      2                                 00
                     ∂ ln f (X | θ)           | θ)     fθθ (X
                                                          | θ)          fθ0 (X
                Eθ                  = Eθ           −            =
                         ∂θ2            f (X | θ)    f (X | θ)
  Z 00                                         Z
    fθθ (x | θ)                            d2
                · f (x | θ)dµ(x) − I(θ) = 2 f (x | θ)dµ(x) − I(θ) = −I(θ).
     f (x | θ)                             dθ
  X                                                             X

   20 . Èñïîëüçóÿ íåçàâèñèìîñòü è îäèíàêîâóþ ðàñïðåäåëåííîñòü êîìïîíåíò
ñëó÷àéíîé âûáîðêè, ïîëó÷àåì, ÷òî
                                 Xn                 2
                                  ∂    ln f (Xk | θ)
                    In (θ) = Eθ     1                =
                                        ∂θ
                                                                                        
                n µ
                X                           ¶2        X ∂ ln f (Xi | θ) ∂ ln f (Xj | θ)
                          ∂ ln f (Xk | θ)
       Eθ                                        −                    ·                =
                                ∂θ                            ∂θ              ∂θ
                k=1                                    i6=j
 n
 X          µ                     ¶2       X
                ∂ ln f (Xk | θ)                        ∂ ln f (Xi | θ)      ∂ ln f (Xj | θ)
       Eθ                              −          Eθ                   · Eθ                 = nI(θ),
                      ∂θ                                     ∂θ                   ∂θ
 k=1                                       i6=j

                                                         206

Страницы