Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
0
Θ
f(x |θ)
θ
¯
¯
¯
¯
∂f(x |θ)
∂θ
¯
¯
¯
¯
≤ H
1
(x), (5)
¯
¯
¯
¯
∂
2
f(x |θ)
∂θ
2
¯
¯
¯
¯
≤ H
2
(x), (6)
¯
¯
¯
¯
∂
3
ln f(x |θ)
∂θ
3
¯
¯
¯
¯
≤ H
3
(x),
H
1
H
2
µ X
X E
θ
H
3
(X) < ∞
θ Θ.
I(θ) = E
θ
µ
∂ ln f(X |θ)
∂θ
2
=
Z
X
µ
∂ ln f(x |θ)
∂θ
2
f(x |θ) dµ(x) > 0,
θ ∈ Θ.
X,
θ
I(θ) θ,
X. I(θ) = 0,
θ.
   Èçó÷èì òåïåðü àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî
ïðàâäîïîäîáèÿ. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ
ðåãóëÿðíîñòè.

(R4) Äëÿ êàæäîé òî÷êè θ0 ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ ñóùåñòâóåò
     íåêîòîðàÿ åå îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè f (x |θ) òðè-
     æäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî ïàðàìåòðó θ è
                                    ¯            ¯
                                    ¯ ∂f (x | θ) ¯
                                    ¯            ¯ ≤ H1 (x),                                   (5)
                                    ¯    ∂θ      ¯
                                   ¯ 2            ¯
                                   ¯ ∂ f (x | θ) ¯
                                   ¯              ¯ ≤ H2 (x),                                  (6)
                                   ¯    ∂θ 2      ¯
                                 ¯ 3                ¯
                                 ¯ ∂ ln f (x | θ) ¯
                                 ¯                  ¯ ≤ H3 (x),
                                 ¯      ∂θ3         ¯
     ïðè÷åì ôóíêöèè H1 È H2 èíòåãðèðóåìû ïî ìåðå µ íà íîñèòåëå X
     ðàñïðåäåëåíèÿ X è Eθ H3 (X) < ∞ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé
     òî÷êè θ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ.

(R5) Ôóíêöèÿ
                   µ                    ¶2       Z µ                    ¶2
                       ∂ ln f (X | θ)                  ∂ ln f (x | θ)
      I(θ) = E θ                             =                               f (x | θ) dµ(x) > 0,
                             ∂θ                             ∂θ
                                                 X

     êàêîâî áû íè áûëî θ ∈ Θ.

   Åñòåñòâåííî, ñòîëü ãðîìîçäêèå è, íà ïåðâûé âçãëÿä, ñòðàííûå óñëîâèÿ
òðåáóþò íåêîòîðîãî êîììåíòàðèÿ.
   Óñëîâèå (R4) îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè ïëîò-
íîñòè ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìû íà X, è ïîýòîìó ìîæíî âûíîñèòü ïðîèç-
âîäíóþ ïî θ çà çíàê èíòåãðàëà.
   Óñëîâèå (R5) òðåáóåò ïîëîæèòåëüíîñòè î÷åíü âàæíîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñî-
ñòîÿòåëüíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà, õàðàêòåðèñòèêè âåðîÿòíîñòíîé ìî-
äåëè: I(θ) íàçûâàåòñÿ èíôîðìàöèåé ïî Ôèøåðó â òî÷êå θ, ñîäåðæàùåéñÿ
â íàáëþäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Åñëè I(θ) = 0, òî âîçíèêàþò íåïðå-
îäîëèìûå òðóäíîñòè ñ ïðèíÿòèåì êîððåêòíîãî ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî
ýòîé ïàðàìåòðè÷åñêîé òî÷êå θ. Ïîíÿòíî, ÷òî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî


                                                 205

Страницы