Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

√
n
I(θ
0
) > 0
2
0
I(θ
0
),
1
0
−
1
n
L
00
(θ
0
|X
(n)
) = −
1
n
n
X
1
∂
2
ln f(X
k
|θ
0
)
∂θ
2
→
P
−E
θ
0
∂
2
ln f(X |θ
0
)
∂θ
2
= I(θ
0
),
ˆ
θ
n
− θ
0
→
P
0.
1
n
L
000
(θ
1
|X
(n)
) =
1
n
n
X
1
∂
3
ln f(X
k
|θ
1
)
∂θ
3
n
(1/n)
X
n
1
H
3
(X
k
) n, θ
1
θ
0
1 − ε
E
θ
0
H
3
(X) < ∞,
                          √
åñòü íîðìèðîâàííàÿ íà n ñóììà íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ íóëåâûìè ñðåäíèìè è äèñïåðñèÿìè I(θ0 ) > 0 (ñì.
äîêàçàòåëüñòâî ïóíêòà 20 ëåììû 4.2). Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó öåíòðàëüíîé
ïðåäåëüíîé òåîðåìû ÷èñëèòåëü ïðàâîé ÷àñòè (7) àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëåí
ñ ýòèìè ïàðàìåòðàìè, è äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷-
íî ïîêàçàòü, ÷òî çíàìåíàòåëü (7) ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïîñòîÿííîé
I(θ0 ), è ñîñëàòüñÿ íà ïóíêò (2) ïðåäëîæåíèÿ 11.1 (òåîðåìà òèïà Ñëóöêîãî)
êóðñà ÒÂ.
    ñèëó çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë è óòâåðæäåíèÿ 10 ëåììû 4.2 ïåðâîå ñëà-
ãàåìîå â çíàìåíàòåëå (7)
                            n
  1                      1 X ∂ 2 ln f (Xk | θ0 )         ∂ 2 ln f (X | θ0 )
 − L00 (θ0 | X (n) ) = −                         → −E θ0                    = I(θ0 ),
  n                      n 1         ∂θ2         P              ∂θ2
òàê ÷òî îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî è âòîðîå ñëàãàåìîå ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè
ê íóëþ.
   Òàê êàê ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (R1)(R3) îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâ-
äîïîäîáèÿ ñîñòîÿòåëüíà, òî θ̂n − θ0 → 0. Ìíîæèòåëü ïðè ýòîé ðàçíîñòè
                                         P

                                               n
                     1 000      (n)  1 X ∂ 3 ln f (Xk | θ1 )
                       L (θ1 | X ) =
                     n               n 1         ∂θ3

â ñèëó óñëîâèÿ (R4),
                  Xníà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå
ïðåâîñõîäèò (1/n)      H3 (Xk ) (ýòî òî n, ïðè êîòîðîì θ1 ïîïàäàåò â îêðåñò-
                     1
íîñòü òî÷êè θ0 ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ 1 − ε). Ïðèìåíÿÿ
ê ýòîé ñóììå çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ïîëó÷àåì, ÷òî îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿò-
íîñòè ê
                                 E θ0 H3 (X) < ∞,
è ïîýòîìó óêàçàííûé âûøå ñîìíîæèòåëü îãðàíè÷åí ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè-
íèöà, à âñå âòîðîå ñëàãàåìîå â çíàìåíàòåëå ïðàâîé ÷àñòè (7) ñõîäèòñÿ ïî
âåðîÿòíîñòè ê íóëþ.
  Äîêàçàííàÿ òåîðåìà, êàê áóäåò âèäíî èç îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ñëåäó-
þùåãî ïàðàãðàôà, óñòàíàâëèâàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ îïòèìàëüíîñòü îöåíîê
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàäðàòè÷íîãî ðèñêà.




                                         208

Страницы