Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X P
θ
X
θ ∈ Θ
I(θ) θ ∈ Θ
Z
X
n
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = 1
θ
Z
X
n
f
0
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = 0.
µ H(x),
θ ∈ Θ
|∂f(x |θ)/∂θ | ≤ H(x), x ∈ X.
ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
) K
0
,
E
θ
ˆ
θ
n
(X
(n)
) =
Z
X
n
ˆ
θ
n
(x
(n)
)f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
)
θ ∈ Θ
{P
θ
, θ ∈ Θ} X,
ïðîáëåìû îïòèìàëüíîé îöåíêè. Áîëåå òîãî, ìû ïîêàæåì, ÷òî ïðè íàëè÷èè
äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ìîæåò ïðèâå-
ñòè è ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ïðîáëåìû ðàâíîìåðíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè
ðèñêà.
   Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ áóäåò
íàõîäèòüñÿ íèæíÿÿ (äîñòèæèìàÿ!) ãðàíèöà êâàäðàòè÷íîãî ðèñêà îöåíêè.

(B1) Íîñèòåëü X ðàñïðåäåëåíèÿ P θ íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íå
     çàâèñèò îò θ ∈ Θ (óñëîâèå, ñîâïàäàþùåå ñ (R2) ⠟4).

(B2) Èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó I(θ) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà ïðè ëþáîì θ ∈ Θ
     (óñëîâèå, ñîâïàäàþùåå ñ (R5) ⠟4).

(B3) Ðàâåíñòâî                 Z
                                       n
                                           fn (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = 1
                                   X
     ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî θ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, òî åñòü
                               Z
                                       n
                                           fn0 (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = 0.
                                   X
     Ïî àíàëîãèè ñ (R4) â ÷àñòè (5) äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü ñó-
     ùåñòâîâàíèå òàêîé èíòåãðèðóåìîé ïî ìåðå µ ôóíêöèè H(x), ÷òî â
     íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè θ ∈ Θ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
     | ∂f (x | θ)/∂θ | ≤ H(x), x ∈ X .
(B4) Îöåíêà θ̂n = θ̂n (X (n) ) äîëæíà ïðèíàäëåæàòü êëàññó îöåíîê K0 , ñðåäíåå
     çíà÷åíèå êîòîðûõ
                                             Z
                               (n)
                  E θ θ̂n (X         )=              n
                                                         θ̂n (x(n) )fn (x(n) | θ) dµn (x(n) )
                                                 X
     ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî θ ∈ Θ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.

   Êîíå÷íî, óñëîâèå (B4) òðåáóåò êîììåíòàðèÿ.  âûñîêîé òåîðèè ñòàòè-
ñòè÷åñêîãî âûâîäà ïðèâîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íà ñåìåéñòâî ðàñïðå-
äåëåíèé {Pθ , θ ∈ Θ} íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, êîòîðûå îáåñ-
ïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (B4), íî ôîðìóëèðîâêà ýòèõ óñëîâèé è, â
îñîáåííîñòè, äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî îíè âëåêóò (B4), íàñòîëüêî òåõíè÷å-
ñêè è êîíöåïòóàëüíî ñëîæíû, ÷òî ìîãóò ñîñòàâèòü ïðåäìåò ñïåöèàëüíîãî
êóðñà. Îäíàêî âñå èçó÷àåìûå íàìè â êóðñå Ò âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè, çà

                                                         210

Страницы