Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
0
.
P
Y P g, h
P Y Y.
(E g(Y )h(Y ))
2
≤ E g
2
(Y ) · E h
2
(Y )
µ
Z
Y
g(y)h(y) dP (y)
2
≤
Z
Y
g
2
(y)dP (y) ·
Z
Y
h
2
(y)dP (y),
g h a b, ag(y) +
bh(y) = 0 y ∈ Y P.
ˆ
θ
n
∈ K
0
E
θ
³
ˆ
θ
n
(X
(n)
) − θ
´
2
≥ D
θ
ˆ
θ
n
(X
(n)
) ≥
[ dγ(θ)/dθ ]
2
nI(θ)
, (1)
γ(θ) = E
θ
ˆ
θ
n
(X
(n)
),
ˆ
θ
n
γ(θ) = θ,
C(θ), θ ∈ Θ,
ˆ
θ
n
(X
(n)
) − γ(θ) = C(θ)
∂L(θ |X
(n)
)
∂θ
(2)
P
θ
.
Z
X
n
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = 1,
Z
X
n
ˆ
θ
n
(x
(n)
)f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = γ(θ)
èñêëþ÷åíèåì ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì,
è ïîýòîìó ëþáàÿ îöåíêà èõ ïàðàìåòðîâ ïðèíàäëåæèò êëàññó K0 .
   Ïðåæäå, ÷åì ïîëó÷èòü îñíîâíîé òåõíè÷åñêèé ðåçóëüòàò ýòîãî ïàðàãðà-
ôà, âñïîìíèì îäíî çàìå÷àòåëüíîå íåðàâåíñòâî èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà. Ýòî  íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî, êîòîðîå â ñëó÷àå èíòå-
ãðàëîâ Ëåáåãà ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå P íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Øâàðöà.
Ïóñòü Y  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ðàñïðåäåëåíèåì P è g, h  äâå èíòåãðèðó-
åìûå ñ êâàäðàòîì ïî ìåðå P ôóíêöèè íà îáëàñòè Y çíà÷åíèé Y. Äëÿ ýòèõ
                                              2
ôóíêöèé èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (E g(Y )h(Y )) ≤ E g 2 (Y ) · E h2 (Y ) èëè,
÷òî òî æå,
        µZ                                     ¶2       Z                         Z
                 g(y)h(y) dP (y)                    ≤           g 2 (y)dP (y) ·           h2 (y)dP (y),
             Y                                              Y                         Y

ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèè
g è h ëèíåéíî çàâèñèìû: ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå a è b, ÷òî ag(y) +
bh(y) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ y ∈ Y ïî ìåðå P.
  Òåîðåìà 5.1. (íåðàâåíñòâî ÐàîÊðàìåðà) Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
(B1)(B4) äëÿ êâàäðàòè÷íîãî ðèñêà ëþáîé îöåíêè θ̂n ∈ K0 ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî
                ³            ´2                [ dγ(θ)/dθ ]2
                       (n)                (n)
             E θ θ̂n (X ) − θ ≥ D θ θ̂n (X ) ≥               ,                                            (1)
                                                   nI(θ)

ãäå γ(θ) = E θ θ̂n (X (n) ), ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà ìåæäó ðèñêîì è äèñïåðñèåé
îöåíêè θ̂n äîñòèãàåòñÿ íà íåñìåùåííûõ îöåíêàõ: γ(θ) = θ, à çíàê ðàâåí-
ñòâà âî âòîðîì íåðàâåíñòâå (1) èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ C(θ), θ ∈ Θ, ÷òî

                                     (n)                     ∂L(θ | X (n) )
                         θ̂n (X              ) − γ(θ) = C(θ)                                              (2)
                                                                 ∂θ
ïî÷òè íàâåðíîå ïî ìåðå Pθ .
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâ
                                 Z
                                         n
                                             fn (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = 1,
                                     X
                     Z
                             n
                                 θ̂n (x(n) )fn (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = γ(θ)
                         X

                                                        211

Страницы