Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

δ
n
= δ
n
(X
(n)
)
θ ∈ Θ R(θ; δ
n
).
θ,
D Θ,
δ
n
=
ˆ
θ
n
θ.
θ
0
∈ Θ, x
(n)
d = θ
0
.
L(θ, θ) = 0,
θ ∈ Θ, R(θ; θ
0
) = L(θ, θ
0
)
θ = θ
0
θ,
θ
∗
n
R(θ, θ
∗
n
) ≡ 0,
θ
∗
n
= θ
∗
n
(X
(n)
)
K
θ,
ˆ
θ
n
∈ K θ ∈ Θ
R(θ; θ
∗
n
) ≤ R(θ;
ˆ
θ
n
).
θ
E
θ
ˆ
θ
n
(X
(n)
) = θ θ ∈ Θ ⊆ R,
[nI(θ)]
−1
                     Ÿ5. Ýôôåêòèâíîñòü îöåíîê

                                                                Ëåêöèÿ 8

   Îáñóæäàÿ â íà÷àëå íàøåãî êóðñà îáùóþ ïðîáëåìó ñòàòèñòè÷åñêîãî âû-
âîäà, ìû ãîâîðèëè î ãëàâíîé çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè  ïîñòðî-
åíèè ðåøàþùèõ ïðàâèë δn = δn (X (n) ), ìèíèìèçèðóþùèõ ðàâíîìåðíî ïî
âñåì θ ∈ Θ ôóíêöèþ ðèñêà R(θ; δn ). Ê ñîæàëåíèþ, áåç äîïîëíèòåëüíûõ
îãðàíè÷åíèé íà êëàññ ðåøàþùèõ ôóíêöèé ýòà çàäà÷à íå ðàçðåøèìà. Äåé-
ñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîáëåìó îöåíêè ïàðàìåòðà θ, â êîòîðîé ïðîñòðàí-
ñòâî ðåøåíèé D ñîâïàäàåò ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì Θ, à ðåøà-
þùàÿ ôóíêöèÿ δn = θ̂n  îöåíêà θ. Âîçüìåì â êà÷åñòâå îöåíêè íåêîòîðóþ
ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó θ0 ∈ Θ, òî åñòü ïðè ëþáîì ðåçóëüòàòå x(n) ñòàòèñòè-
÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà áóäåì ïðèíèìàòü îäíî è òî æå ðåøåíèå d = θ0 . Åñëè
ôóíêöèÿ ïîòåðü îáëàäàåò òåì åñòåñòâåííûì ñâîéñòâîì, ÷òî L(θ, θ) = 0, êà-
êîâî áû íè áûëî çíà÷åíèå θ ∈ Θ, òî ðèñê òàêîé îöåíêè R(θ; θ0 ) = L(θ, θ0 )
ïðè θ = θ0 ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû õîòèì ïîñòðîèòü îöåíêó ñ
ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì â êëàññå âñåâîçìîæíûõ îöåíîê θ, òî ìû
äîëæíû íàéòè îöåíêó θn∗ ñ ôóíêöèåé ðèñêà R(θ, θn∗ ) ≡ 0, è ïîíÿòíî, ÷òî
òàêîé îöåíêè íå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó ìû áóäåì âñåãäà ïðè ïîèñêå îïòè-
ìàëüíûõ ðåøåíèé óêàçûâàòü êëàññ îöåíîê, â êîòîðûõ èùåòñÿ îïòèìàëüíîå
ðåøåíèå.
  Îïðåäåëåíèå 5.1. Îöåíêà θn∗ = θn∗ (X (n) ) íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé èëè
îöåíêîé ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì â êëàññå K îöåíîê ïàðàìåòðà
θ, åñëè äëÿ ëþáîé îöåíêè θ̂n ∈ K è êàæäîãî θ ∈ Θ èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
R(θ; θn∗ ) ≤ R(θ; θ̂n ).
   Íèæå ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ñêàëÿðíîãî
ïàðàìåòðà θ ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü â êëàññå íåñìåùåííûõ îöå-
íîê: E θ θ̂n (X (n) ) = θ ïðè ëþáîì θ ∈ Θ ⊆ R, íî ïðè äîïîëíèòåëüíûõ îãðà-
íè÷åíèÿõ íà âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü è ñîîòâåòñòâóþùåå ñåìåéñòâî ðàñïðå-
äåëåíèé îöåíêè. Ýòè îãðàíè÷åíèÿ àíàëîãè÷íû òåì óñëîâèÿì ðåãóëÿðíîñòè,
êîòîðûå ìû íàêëàäûâàëè íà âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü ïðè èçó÷åíèè àñèìïòî-
òè÷åñêèõ ñâîéñòâ îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ìû ïîêàæåì, ÷òî
êâàäðàòè÷íûé ðèñê ëþáîé íåñìåùåííîé îöåíêè, óäîâëåòâîðÿþùåé ýòèì
óñëîâèÿì, íå ìîæåò áûòü ìåíüøå [nI(θ)]−1  àñèìïòîòè÷åñêîé äèñïåðñèè
îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ñì. òåîðåìà 4.2). Ñëåäîâàòåëüíî,
ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äîñòàâëÿåò àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå

                                   209

Страницы