Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ,
Z
X
n
∂L(θ |x
(n)
)
∂θ
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = 0,
Z
X
n
ˆ
θ
n
(x
(n)
)
∂L(θ |x
(n)
)
∂θ
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = γ
0
(θ).
γ(θ) :
Z
X
n
³
ˆ
θ
n
(x
(n)
) − γ(θ)
´
∂L(θ |x
(n)
)
∂θ
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
) = γ
0
(θ).
y = x
(n)
, Y = X
n
, g(x
(n)
) =
ˆ
θ
n
(x
(n)
) − γ(θ), h(x
(n)
) = ∂L(θ |x
(n)
)/∂θ,
dP (y) = f
n
(x
(n)
|θ)dµ
n
(x
(n)
).
(γ0(θ))
2
≤
Z
X
n
³
ˆ
θ
n
(x
(n)
) − γ(θ)
´
2
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
)·
Z
X
n
µ
∂L(θ |x
(n)
)
∂θ
2
f
n
(x
(n)
|θ) dµ
n
(x
(n)
), (3)
D
θ
ˆ
θ
n
, I
n
(θ),
2
0
I
n
(θ) = nI(θ).
ˆ
θ
n
K ⊆ K
0
K
0
,
R(θ;
ˆ
θ
n
) = D
θ
ˆ
θ
n
≥ [n I(θ)]
−1
, (4)
γ(θ) = θ.
ïî ïàðàìåòðó θ, çàíîñÿ ïðîèçâîäíûå â ëåâûõ ÷àñòÿõ ïîä çíàêè èíòåãðàëîâ,
÷òî ìîæíî ñäåëàòü áëàãîäàðÿ óñëîâèÿì (B3) è (B4). Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò,
èñïîëüçóÿ óñëîâèå (B1), ïðåäñòàâèì â âèäå
                     Z
                             ∂L(θ | x(n) )
                                           fn (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = 0,
                         X n    ∂θ
              Z
                           ∂L(θ | x(n) )
                    θ̂n (x(n) )          fn (x(n) | θ) dµn (x(n) ) = γ 0 (θ).
             X    n            ∂θ
   Âû÷òåì èç âòîðîãî ðàâåíñòâà ïåðâîå, óìíîæèâ åãî ïðåäâàðèòåëüíî íà
γ(θ) :
       Z ³                    ´ ∂L(θ | x(n) )
                  (n)                                (n)              (n)       0
           θ̂n (x     ) − γ(θ)                 fn (x     | θ) dµ n (x     ) = γ   (θ).
        Xn                           ∂θ
Ïðèìåíèì ê ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà íåðàâåíñòâî Øâàðöà, ïî-
ëàãàÿ y = x(n) , Y = Xn , g(x(n) ) = θ̂n (x(n) ) − γ(θ), h(x(n) ) = ∂L(θ | x(n) )/∂θ,
dP (y) = fn (x(n) | θ)dµn (x(n) ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
                           Z        ³                  ´2
                     2
            (γ0(θ)) ≤                   θ̂n (x ) − γ(θ) fn (x(n) | θ) dµn (x(n) )·
                                            (n)
                               Xn
                     Z      µ          ¶2
                         ∂L(θ | x(n) )          (n)              (n)
                                          fn (x     | θ) dµ n (x     ), (3)
                    Xn      ∂θ
â êîòîðîì çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîë-
íÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (2).
    Ìû ïîëó÷èëè íåðàâåíñòâà (1), ïîñêîëüêó ïåðâîå èç íèõ î÷åâèäíî (íà
äèñïåðñèè äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì âñåâîçìîæíûõ ñðåäíèõ êâàäðàòè÷íûõ óê-
ëîíåíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ïîñòîÿííîé). Âòîðîå íåðàâåíñòâî â (1) åñòü
ñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà (3), èáî ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (3) ðàâåí
D θ θ̂n , à âòîðîé èíòåãðàë îïðåäåëÿåò ôèøåðîâñêóþ èíôîðìàöèþ In (θ),
ñîäåðæàùóþñÿ â âûáîðêå. Íàêîíåö, èç ïóíêòà 20 ëåììû 4.2 ñëåäóåò, ÷òî
In (θ) = nI(θ).
   Ñëåäñòâèå 5.1. Åñëè θ̂n ïðèíàäëåæèò ïîäêëàññó                      K ⊆ K0 íåñìåùåííûõ
îöåíîê êëàññà K0 , òî åå êâàäðàòè÷íûé ðèñê

                            R(θ; θ̂n ) = D θ θ̂n ≥ [n I(θ)]−1 ,                      (4)

ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(2) ñ γ(θ) = θ.

                                                  212

Страницы