Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
)
C(θ),
ˆ
θ
n
(X
(n)
) − θ = C(θ)
∂L(θ |X
(n)
)
∂θ
.
L(θ |X
(n)
) = g
θ
(T (X
(n)
))h(X
(n)
),
ˆ
θ
n
(X
(n)
) − θ = C(θ)
∂ ln g
θ
(T (X
(n)
))
∂θ
. (5)
f(x |θ) = θ
−1
exp{−x/θ}, x > 0,
ln g
θ
(X
(n)
) = −n ln θ − θ
−1
X
n
1
X,
∂ ln g
θ
(T (X
(n)
))/∂θ = −n/θ +
X
n
1
X/θ
2
,
C(θ) = θ
2
/n
ˆ
θ
n
= X.
X
θ
X θ
ˆ
θ
n
K,
[n I(θ)]
−1
.
γ(θ).
   Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî ñëåäñòâèå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé äîêàçàííîé òåîðåìû.
Îíî óêàçûâàåò íåêîíñòðóêòèâíûé ïóòü ê ïîñòðîåíèþ íåñìåùåííûõ îöåíîê
ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì. Äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ
â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) è çàòåì ïîäáèðàòü ñòàòèñòèêó θ̂n = θ̂n (X (n) )
è ïàðàìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ C(θ), äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

                                (n)                ∂L(θ | X (n) )
                       θ̂n (X         ) − θ = C(θ)                .
                                                       ∂θ
   Îáû÷íî ýòî ìîæíî ñäåëàòü â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, îáëàäà-
þùèõ äîñòàòî÷íûìè ñòàòèñòèêàìè, ãäå, â ñèëó òåîðåìû ôàêòîðèçàöèè (òå-
îðåìà 2.1 èç Ÿ2), ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ L(θ | X (n) ) = g θ (T (X (n) ))h(X (n) ),
è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èìååò âèä

                             (n)                ∂ ln g θ (T (X (n) ))
                    θ̂n (X         ) − θ = C(θ)                       .        (5)
                                                         ∂θ
Íàïðèìåð, äëÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
f (x | θ) = θ−1 exp{−x/θ}, x > 0, ôóíêöèÿ
                                                                 Xn
                                    (n)                     −1
                      ln g θ (X           ) = −n ln θ − θ             X,
                                                                  1

åå ïðîèçâîäíàÿ
                                                                 Xn
                                      (n)
                  ∂ ln g θ (T (X            ))/∂θ = −n/θ +            X/θ2 ,
                                                                  1

è ðàâåíñòâî (5) âûïîëíÿåòñÿ ïðè C(θ) = θ2 /n è θ̂n = X. Òàêèì îáðàçîì,
âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X åñòü íåñìåùåííàÿ îöåíêà ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëü-
íûì ðèñêîì äëÿ ïàðàìåòðà θ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïîìíèì,
÷òî X îöåíêà θ êàê ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ, òàê è ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî
ïðàâäîïîäîáèÿ.
   Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åñëè â (4) äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà, òî θ̂n  îï-
òèìàëüíàÿ îöåíêà â êëàññå K, íî îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò è íå
âûïîëíÿòüñÿ  ìû íå ðàñïîëàãàåì óòâåðæäåíèåì, ÷òî ëþáàÿ îïòèìàëüíàÿ
îöåíêà èìååò êâàäðàòè÷íûé ðèñê, ðàâíûé [n I(θ)]−1 . ×òîáû ïîä÷åðêíóòü
ýòî ðàçëè÷èå è óêàçàòü â äàëüíåéøåì áîëåå êîíñòðóêòèâíûé ìåòîä ïîñòðî-
åíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê, ââåäåì åùå îäíî îïðåäåëåíèå, ðàññìîòðåâ áîëåå
îáùóþ çàäà÷ó íåñìåùåííîé îöåíêè íåêîòîðîé ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè
γ(θ).


                                                213

Страницы