Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|
ˆ
θ
n
(X
(n)
)−θ | ≤ ∆
θ.
θ
ˆ
θ
n
θ,
1 − α, α
θ, X
(n)
,
1 − α,
θ,
θ ∈ Θ.
x
(n)
,
∆
n
= ∆
n
(X
(n)
)
Θ (1 − α)
P
θ
³
∆
n
(X
(n)
) 3 θ
´
≥ 1 − α, (1)
θ ∈ Θ.
1 − α
θ ∈ Θ
Θ ⊆ R ∆
n
=
¡
θ
n
(X
(n)
); θ
n
(X
(n)
)
¢
θ
n
θ
n
(θ
n
; ∞) (−∞; θ
n
)
                    Ÿ6. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû

                                                                  Ëåêöèÿ 9

   Ìû ðàññìîòðåëè íåñêîëüêî ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê äëÿ
ïàðàìåòðîâ, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþò ðàñïðåäåëåíèå íàáëþäàåìîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Áûë ïîëó÷åí ðÿä óòâåðæäåíèé î ðàñïðåäåëåíèè òà-
êèõ îöåíîê, ÷òî ïîçâîëÿåò ñóäèòü î íàäåæíîñòè îöåíêè ïðè çàäàííîé òî÷-
íîñòè, òî åñòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé âèäà | θ̂n (X (n) )−θ | ≤ ∆ ïðè
êàæäîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ. Ïîñêîëüêó èìåííî çíà÷å-
íèå θ íàì íåèçâåñòíî, òî òàêîãî ðîäà âû÷èñëåíèÿ çà÷àñòóþ ëèøåíû ïðàê-
òè÷åñêîãî ñìûñëà  ñëèøêîì âåëèê ðàçìàõ â íàäåæíîñòè îöåíêè θ̂n ïðè
ðàçëè÷íûõ θ, äàæå â ñëó÷àå, êîãäà ìû ðàñïîëàãàåì íåêîòîðîé àïðèîðíîé
èíôîðìàöèåé î âîçìîæíîé îáëàñòè çíà÷åíèé ýòîãî ïàðàìåòðà. Ïîýòîìó â
ðÿäå ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèé ïûòàþòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: äëÿ ôèê-
ñèðîâàííîé íàäåæíîñòè, ñêàæåì, 1 − α, ãäå α ìàëî, óêàçàòü íåêîòîðóþ
îáëàñòü çíà÷åíèé θ, çàâèñÿùóþ, åñòåñòâåííî, îò âûáîðêè X (n) , êîòîðàÿ ñ
âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 1 − α, íàêðûâàåò èñòèííîå, íåèçâåñòíîå íàì
çíà÷åíèå θ, ïðè÷åì òàêîå íàäåæíîñòíîå óòâåðæäåíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
ïðè ëþáûõ θ ∈ Θ.  òàêîì ñëó÷àå ïî ðàçìåðàì îáëàñòè, êîòîðûå îïðå-
äåëÿþòñÿ âûáîðî÷íûìè çíà÷åíèÿìè x(n) , ìîæíî ñóäèòü î òî÷íîñòè òàêîé
èíòåðâàëüíîé îöåíêè.
   Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïîäìíîæåñòâî ∆n = ∆n (X (n) ) ïàðàìåòðè÷åñêîãî
ïðîñòðàíñòâà Θ íàçûâàåòñÿ (1 − α)-äîâåðèòåëüíîé îáëàñòüþ, åñëè
                          ³                    ´
                                   (n)
                       P θ ∆n (X         ) 3 θ ≥ 1 − α,                  (1)

êàêîâî áû íè áûëî çíà÷åíèå θ ∈ Θ. Çàäàííîå (ôèêñèðîâàííîå) çíà÷åíèå
1 − α íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì óðîâíåì, à íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ëåâîé
÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) ïî âñåì θ ∈ Θ  äîâåðèòåëüíûì¡ êîýôôèöèåíòîì       ¢.
                                                           (n)       (n)
 ñëó÷àå Θ ⊆ R äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü âèäà ∆n = θ n (X ); θ n (X )
íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì, â êîòîðîì ðàçëè÷àþòñÿ íèæíèé
θ n è âåðõíèé θ n äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû âèäà
(θ n ; ∞) è (−∞; θn ) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé äîâå-
ðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè.
   Åñòåñòâåííî, êîíôèãóðàöèÿ äîâåðèòåëüíîé îáëàñòè âûáèðàåòñÿ ñòàòè-
ñòèêîì, ñîîáðàçóÿñü ñ åå ãåîìåòðè÷åñêîé íàãëÿäíîñòüþ è, ãëàâíîå, âîçìîæ-
íîñòüþ ãàðàíòèðîâàòü äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü.  ñëó÷àå ñêàëÿðíîãî

                                         215

Страницы