Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P
µ
|X − µ |
σ
√
n ≤ λ
= 2Φ(λ) − 1,
λ 2Φ(λ) −1 = 1 −α,
λ = λ
α
= Φ
−1
(1−α/2), (X−λ
α
σ/
√
n, X+λ
α
σ/
√
n)
(1 − α) µ
(µ, σ
2
) σ
2
.
ˆ
θ
n
− θ
ˆ
θ
n
= X θ = µ.
H(
ˆ
θ
n
, θ)
ˆ
θ
n
θ
H( ·, ·)
θ, P
θ
³
H(
ˆ
θ
n
(X
(n)
), θ) ≤ λ
´
λ
θ ∈ Θ.
(µ, σ
2
)
2
0
.
(µ, σ
2
) µ
ˆσ
2
n
= n
−1
P
n
1
(X
k
− µ)
2
σ
2
.
ˆσ
2
n
Y
k
= (X
k
− µ)/σ ∼
N(0, 1), k = 1, . . . , n,
H(ˆσ
2
n
, σ
2
) = σ
−2
X
n
1
(X
k
− µ)
2
.
Y
1
, . . . , Y
n
N(0, 1),
P
n
1
Y
2
k
G(n/2, 2).
çûâàåò íàì ïóòü ê ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Äåéñòâèòåëüíî,
                       µ                      ¶
                           | X − µ |√
                   P                  n ≤ λ       = 2Φ(λ) − 1,
                               σ
è åñëè ïîëîæèòü λ ðàâíûì êîðíþ óðàâíåíèÿ 2Φ(λ) − 1 = 1 − α, òî åñòü âû-
                                                    √        √
áðàòü λ = λα = Φ−1 (1−α/2), òî èíòåðâàë (X−λα σ/ n, X+λα σ/ n) áóäåò
(1 − α)-äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ µ íîðìàëüíîãî
(µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè σ 2 .

   Â ýòîì ïðîñòåéøåì ïðèìåðå íà ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
êëþ÷åâûì ìîìåíòîì áûëî èñïîëüçîâàíèå èíâàðèàíòíîé ñëó÷àéíîé ôóíê-
öèè θ̂n − θ îò îöåíêè θ̂n = X è ïàðàìåòðà θ = µ. Â ïðèíöèïå, èìåííî
íà ïîäîáíîì âûáîðå îïîðíîé ôóíêöèè H(θ̂n , θ) ñ ïîäõîäÿùåé îöåíêîé θ̂n
ïàðàìåòðà θ îñíîâàíû èñòîðè÷åñêè ïåðâûå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëü-
íûõ èíòåðâàëîâ è ìíîæåñòâ. Îïîðíàÿ ôóíêöèÿ H( ·, · ) ïîäáèðàåòñÿ òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû îíà áûëà ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé
                                     ³             ôóíêöèåé
                                                        ´   âòîðîãî àð-
                                              (n)
ãóìåíòà θ, è ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü P θ H(θ̂n (X ), θ) ≤ λ äëÿ íåêîòîðûõ
çíà÷åíèé λ äîëæíà îñòàâàòüñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêîé (áëèçêîé ê åäèíèöå), êà-
êîâî áû íè áûëî çíà÷åíèå θ ∈ Θ. Ìû ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ìåòîä ïîñòðîå-
íèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñ ïîìîùüþ ïîäáîðà èíâàðèàíòíûõ îïîðíûõ
ôóíêöèé íà ïðèìåðå íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, ñòðîÿ äîâåðèòåëü-
íûå èíòåðâàëû äëÿ êàæäîãî èç ïàðàìåòðîâ ïðè èçâåñòíîì è íåèçâåñòíîì
çíà÷åíèÿõ äðóãîãî (ìåøàþùåãî ) ïàðàìåòðà.

   20 . Âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ äèñïåðñèè íîðìàëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîì ñðåäíåì. Ïðè âûáîðå èç íîð-
ìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñ èçâåñòíûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì µ ìåòîä
                                                                            Pn
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïðèâîäèò ê íåñìåùåííîé îöåíêå σ̂n2 = n−1 1
(Xk − µ)2 ïàðàìåòðà σ 2 . Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà,
íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî σ̂n2 åñòü íåñìåùåííàÿ îöåíêà ñ ðàâíîìåðíî ìèíè-
ìàëüíûì ðèñêîì.
   Ïîñêîëüêó, â ÷åì ìû íåîäíîêðàòíî óáåæäàëèñü, Yk = (Xk − µ)/σ ∼
                           òî åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü â êà÷åñòâå îïîðíîé ôóíê-
N (0, 1), k = 1, . . . , n,X
                              n
          2  2
öèþ H(σ̂n , σ ) = σ     −2
                                (Xk − µ)2 . Íàéäåì åå ðàñïðåäåëåíèå.
                            1
  Ëåììà 6.1. Åñëè Y1 , . . . , Yn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî
                                               Pn 2      ðàñïðåäåëåíû ïî
ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1), òî            1   Yk èìååò ãàììà-ðàñïðå-
äåëåíèå G(n/2, 2).

                                      217

Страницы