Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∆
n
(X
(n)
) 3 θ θ ∈ ∆
n
(X
(n)
).
θ 1 −α, ∆
n
,
θ
∆
n
(X
(n)
),
∆
n
(X
(n)
)
1 − α, θ.
1
0
.
X
(n)
(µ, σ
2
)
σ
θ µ.
³
µ
n
(X
(n)
), µ
n
(X
(n)
)
´
, P
µ
³
µ
n
≤ µ ≤ µ
n
´
≥ 1 − α,
µ ∈ R.
µ
X µ
X − µ µ,
ïàðàìåòðà äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü îáû÷íî âûáèðàåòñÿ â âèäå èíòåðâàëà,
ïðè÷åì â ðÿäå ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, ïðè îöåíêå íàäåæíîñòè èëè âåðîÿòíî-
ñòè íåæåëàòåëüíîãî ñîáûòèÿ, â âèäå îäíîñòîðîííåãî èíòåðâàëà.  ñëó÷àå
ìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðà îáû÷íî ñòðîÿòñÿ äîâåðèòåëüíûå ýëëèïñîèäû èëè
ïàðàëëåëåïèïåäû.
   Ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà ïðàâèëüíóþ ôîðìóëèðîâêó äîâå-
ðèòåëüíîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðàÿ ïîä÷åðêèâàåòñÿ â íåðàâåíñòâå (1) çàïè-
ñüþ ∆n (X (n) ) 3 θ âìåñòî îáû÷íîãî θ ∈ ∆n (X (n) ). Ãîâîðèòü, ÷òî çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà θ ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 1 − α, ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ∆n ,
çíà÷èò ñîçíàòåëüíî ââîäèòü òðóäÿùèõñÿ íà íèâå ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè â
çàáëóæäåíèå. Äåëî â òîì, ÷òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ â äàííîé âåðîÿòíîñò-
íîé ìîäåëè íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ýòî ïîñòîÿííàÿ, ñâîéñòâåí-
íàÿ èññëåäóåìîìó îáúåêòó, à ïîñòîÿííàÿ ïðèíàäëåæèò êàêîé-ëèáî îáëàñòè
òîëüêî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èëè íîëü. Âñÿ ñëó÷àéíîñòü çàêëþ÷åíà â
ñàìîé äîâåðèòåëüíîé îáëàñòè ∆n (X (n) ), è ïîýòîìó ïðàâèëüíîå äîâåðèòåëü-
íîå óòâåðæäåíèå ãëàñèò: îáëàñòü ∆n (X (n) ) ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé
1 − α, íàêðûâàåò èñòèííîå (íåèçâåñòíîå) çíà÷åíèå θ.
    ñàìîì íà÷àëå íàøåãî êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â ïðèìåðå 1.1
ñ îïðåäåëåíèåì ñîäåðæàíèÿ îáùåé ñåðû â äèçåëüíîì òîïëèâå ìû ñòðîèëè
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ôèêñèðîâàííîé øèðèíû äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà çàíèìàëèñü ïëàíèðîâàíèåì îáúåìà èñ-
ïûòàíèé, íåîáõîäèìîãî äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè
îöåíêè. Ðàññìîòðèì åùå ðàç ýòîò ïðèìåð â ñâåòå ââåäåííûõ ïîíÿòèé èí-
òåðâàëüíîé îöåíêè ïàðàìåòðà.

   10 . Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè. Èòàê, â ïðè-
ìåðå 1.1 ìû èìåëè äåëî ñ âûáîðêîé X (n) èç íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäå-
ëåíèÿ, ïðè÷åì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà σ íàì áûëî èçâåñòíî, òàê ÷òî â êà÷åñòâå
íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà
                 ³     θ âûñòóïàëî µ.´Íàøà çàäà÷à
                                               ³ ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè
                                                               ´
                        (n)      (n)
òàêîãî èíòåðâàëà µ n (X ), µ n (X ) , ÷òî Pµ µ n ≤ µ ≤ µ n ≥ 1 − α,
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè µ ∈ R.
   Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå îöåíêîé µ ñëóæèëî âûáîðî÷íîå ñðåä-
íåå X  íåñìåùåííàÿ îöåíêà µ ñ ìèíèìàëüíûì êâàäðàòè÷íûì ðèñêîì. Ýòà
ëèíåéíàÿ îöåíêà îáëàäàåò çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè: ðàñ-
ïðåäåëåíèå ðàçíîñòè X − µ íå çàâèñèò îò µ, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîäñêà-



                                    216

Страницы