Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆγ
n
= ˆγ
n
(X
(n)
)
γ(θ) K
0
,
R(γ; ˆγ
n
) = E
θ
³
ˆγ
n
(X
(n)
) − γ(θ)
´
2
= D
θ
ˆγ
n
(X
(n)
) = [ γ
0
(θ) ]
2
/n I(θ),
ˆ
θ
n
= ˆγ
n
ˆγ
n
(X
(n)
) − γ(θ) = C(θ)
∂L(θ |X
(n)
)
∂θ
. (6)
ˆγ
n
K
0
,
E
θ
ˆγ
n
(X
(n)
) ∼ γ(θ) D
θ
ˆγ
n
(X
(n)
) ∼ [ γ
0
(θ) ]
2
/n I(θ), n → ∞.
θ γ(θ) = θ
K
0
.
K.
ˆ
θ
n
θ.
γ(
ˆ
θ
n
) γ(θ)
θ
ˆ
θ
n
.
γ(
ˆ
θ
n
)
γ(θ) K
0
γ
∗
n
γ(θ)
γ
∗
n
(X
(n)
) = γ(
ˆ
θ
n
(X
(n)
)).
γ
∗
n
γ(θ),
γ
∗
n
(X
(n)
) − γ(θ) = C(θ)∂L(θ |X
(n)
)/∂θ, (7)
θ ∈ Θ.
ˆ
θ
n
∂L(
ˆ
θ
n
|X
(n)
)/∂θ = 0, θ =
ˆ
θ
n
γ
∗
n
(X
(n)
) − γ(
ˆ
θ
n
) = 0
P
n
θ
.
X
θ
m, X
µ
(µ, σ
2
)
   Îïðåäåëåíèå 5.2. Íåñìåùåííàÿ îöåíêà γ̂n = γ̂n (X (n) ) ïàðàìåòðè÷å-
ñêîé ôóíêöèè γ(θ) íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé â êëàññå K 0 , åñëè åå êâàäðà-
òè÷íûé ðèñê
                     ³                      ´2
                              (n)
    R(γ; γ̂n ) = E θ γ̂n (X         ) − γ(θ) = D θ γ̂n (X (n) ) = [ γ 0 (θ) ]2 /n I(θ),

òî åñòü (ñì. òåîðåìó 5.1 ñ θ̂n = γ̂n ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

                           (n)                          ∂L(θ | X (n) )
                        γ̂n (X ) − γ(θ) = C(θ)                         .        (6)
                                                              ∂θ
Îöåíêà γ̂n íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíîé â êëàññå K 0 , åñëè
E θ γ̂n (X (n) ) ∼ γ(θ) è D θ γ̂n (X (n) ) ∼ [ γ 0 (θ) ]2 /n I(θ), êîãäà n → ∞.
  Â ñèëó òåîðåìû 4.2 îöåíêà ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ñêà-
ëÿðíîãî ïàðàìåòðà θ (â äàííîì ñëó÷àå γ(θ) = θ) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè
ýôôåêòèâíîé îöåíêîé â êëàññå K 0 . Ïîêàæåì, ÷òî îíà äàåò ðåøåíèå ïðîáëå-
ìû ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåíêè â êëàññå K.
  Ïóñòü θ̂n  îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà θ. Îïðåäå-
ëèì îöåíêó γ(θ̂n ) ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè γ(θ) ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè
âìåñòî θ åå îöåíêè θ̂n .
   Òåîðåìà 5.2. Åñëè γ(θ̂n ) åñòü íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðè÷åñêîé
ôóíêöèè γ(θ) è ýôôåêòèâíàÿ â êëàññå K 0 îöåíêà γn∗ ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíê-
öèè γ(θ) ñóùåñòâóåò, òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè (R1)(R5)
è (B3)(B4) ïî÷òè íàâåðíîå γn∗ (X (n) ) = γ(θ̂n (X (n) )).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Åñëè γn∗  ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà γ(θ), òî îíà óäî-
âëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó (6):
                    γn∗ (X (n) ) − γ(θ) = C(θ)∂L(θ | X (n) )/∂θ,                          (7)
êàêîâî áû íè áûëî θ ∈ Θ. Íî åñëè θ̂n  îöåíêà ïî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî
ïðàâäîïîäîáèÿ, òî ∂L(θ̂n | X (n) )/∂θ = 0, òàê ÷òî ðàâåíñòâî (7) ïðè θ = θ̂n
ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî γn∗ (X (n) ) − γ(θ̂n ) = 0 ïî÷òè íàâåðíîå ïî âåðîÿò-
íîñòè P θn .
   Èç äîêàçàííîé òåîðåìû íåìåäëåííî âûòåêàåò, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
X åñòü ýôôåêòèâíàÿ (ñëåäîâàòåëüíî, è îïòèìàëüíàÿ) íåñìåùåííàÿ îöåíêà
ïàðàìåòðà θ òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé, êàê äâóõòî÷å÷íîå, áèíîìèàëüíîå ïðè
èçâåñòíîì m, Ïóàññîíà, ïîêàçàòåëüíîå; X åñòü òàêæå íåñìåùåííàÿ îöåíêà
ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì êâàäðàòè÷íûì ðèñêîì ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ µ
íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ.

                                             214

Страницы