Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Y
2
, Y ∼ N(0, 1),
G(1/2, 2),
5
0
Y
2
F (x) = P (Y
2
< x) =
P (−
√
x < Y <
√
x) = Φ(
√
x) −Φ(−
√
x) = 2Φ(
√
x) −1,
f(x) =
d
dx
2
√
2π
√
x
Z
−∞
exp
½
−
t
2
2
¾
− 1
=
1
2
1/2
Γ(1/2)
x
1/2−1
e
−x/2
,
Γ(1/2) =
√
π.
G(1/2, 2) λ = 1/2
a = 2,
G(n/2, 2)
G(λ, a)
n
K
n
(x), x > 0,
σ
2
.
σ
2
,
σ
2
≤ σ
2
n
.
A
λ
=
H(ˆσ
2
n
, σ
2
) =
X
n
1
(X
k
− µ)
2
σ
2
≥ λ
,
λ P
µ,σ
(A
λ
) = 1 − α.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Ïîêàæåì, ÷òî Y 2 , ãäå Y ∼ N (0, 1), èìååò ãàììà-
ðàñïðåäåëåíèå G(1/2, 2), ïîñëå ÷åãî ïðîñòî âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ñëîæå-
íèÿ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ïðåäëîæåíèå 12.2, ïóíêò 50 êóðñà ÒÂ).
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Y 2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå F (x) = P (Y 2 < x) =
    √              √             √        √           √
P (− x < Y < x) = Φ( x) − Φ(− x) = 2Φ( x) − 1, òàê ÷òî åå ôóíêöèÿ
ïëîòíîñòè
                            √           
                        Z        x ¾ ½
               d  2            t2              1
      f (x) =     √      exp −      − 1  = 1/2     x1/2−1 e−x/2 ,
              dx     2π         2           2 Γ(1/2)
                          −∞
                      √
ïîñêîëüêó Γ(1/2) = π. Ìû âèäèì, ÷òî ýòî  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ãàììà-
ðàñïðåäåëåíèÿ G(1/2, 2) ñ ïàðàìåòðîì ôîðìû λ = 1/2 è ïàðàìåòðîì ìàñ-
øòàáà a = 2, îòêóäà, êàê áûëî çàìå÷åíî âûøå, íåìåäëåííî ñëåäóåò óòâåð-
æäåíèå ëåììû.
   Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå G(n/2, 2) î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ
çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, è îíî ïîÿâèëîñü ðàíüøå, ÷åì ãàììà-
ðàñïðåäåëåíèå G(λ, a) îáùåãî âèäà, ïîä íàçâàíèåì õè-êâàäðàò ðàñïðåäå-
ëåíèå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò îáû÷íî
îáîçíà÷àåòñÿ Kn (x), x > 0, à ÷òî êàñàåòñÿ òåðìèíà ñòåïåíè ñâîáîäû , òî
åãî ñìûñë ïðîÿñíèòñÿ ïî ìåðå äðóãèõ ïðèìåíåíèé õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëå-
íèÿ.
   Òåïåðü ìû ìîæåì ïåðåéòè ê íàøåé îñíîâíîé çàäà÷å  ïîñòðîåíèþ äîâå-
ðèòåëüíûõ ãðàíèö äëÿ σ 2 . Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ïðàêòè÷åñêîé ñòîðîíå ýòîé
ïðîáëåìû (ñì. â ñâÿçè ñ ýòèì ïðèìåð 1.1), òî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ñòàòèñòè-
êà äîëæíà èíòåðåñîâàòü òîëüêî âåðõíÿÿ (à íå äâóñòîðîííÿÿ) ãðàíèöà σ 2 ,
íà êîòîðóþ îí áóäåò îðèåíòèðîâàòüñÿ, ÷òîáû îáåçîïàñèòü ñåáÿ îò ãðóáûõ
îøèáîê ïðè ïëàíèðîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Òàêèì îáðàçîì,
ìû äîëæíû ñôîðìóëèðîâàòü äîâåðèòåëüíîå óòâåðæäåíèå â ôîðìå σ 2 ≤ σ n2 .
Ïîíÿòíî, ÷òî íèæíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà è äâóñòîðîííèå ãðàíèöû (äî-
âåðèòåëüíûé èíòåðâàë), êîëü ñêîðî îíè êîìó-òî ïîòðåáóþòñÿ, ñòðîÿòñÿ àíà-
ëîãè÷íûì îáðàçîì.
    ðàìêàõ òàêîé ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è, ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ñîáûòèå
                                              Xn                       
                                                        (Xk − µ)2      
                 Aλ =       H(σ̂n2 , σ 2 ) =         1
                                                                     ≥ λ ,
                                                         σ2            

âûáèðàÿ λ èç óñëîâèÿ Pµ,σ (Aλ ) = 1 − α. Êàê ìû òîëüêî ÷òî âûÿñíèëè, ýòà

                                               218

Страницы