Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X S
2
X ∼ N(µ, σ
2
/n), nS
2
/σ
2
∼ χ
2
n−1
n − 1
Y
1
, . . . , Y
n
N(0, 1).
Y =
1
n
n
X
k=1
Y
k
S
Y
=
n
X
k=1
(Y
k
− Y )
2
Y ∼ N(0, 1/n), S
Y
∼ χ
2
n−1
.
σY
k
+ µ
X
k
, k = 1, . . . , n, X
σY + µ, S
Y
nS
2
/σ
2
.
Z
k
=
n
X
i=1
c
ki
Y
i
, k = 1, . . . , n,
C = kc
ki
k
Y
1
, . . . , Y
n
.
c
11
= . . . = c
1n
= 1/
√
n, C
C C
0
CC
0
= I. C
Z
1
, . . . , Z
n
n
m
k
= EZ
k
= E
n
X
i=1
c
ki
Y
k
=
n
X
i=1
c
ki
EY
k
= 0, k = 1, . . . , n.
cov(Z
k
, Z
j
) = E(Z
k
− m
k
)(Z
j
− m
j
) = EZ
k
Z
j
= E
n
X
i=1
c
ki
Y
i
·
n
X
i=1
c
ji
Y
i
=
E
n
X
i=1
c
ki
c
ji
Y
2
i
+ E
n
X
i6=l
c
ki
c
jl
Y
i
Y
l
.
ñòàòèñòèêè X è S 2 íåçàâèñèìû, X ∼ N (µ, σ 2 /n), à nS 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 (èìååò
õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Ïóñòü Y1 , . . . , Yn  ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç ñòàí-
äàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (0, 1). Ïîêàæåì, ÷òî ñòàòèñòèêè
                                 n                 n
                        1X                         X
                    Y =    Yk               è SY =   (Yk − Y )2
                        n
                            k=1                              k=1

íåçàâèñèìû, Y ∼ N (0, 1/n), à SY ∼ χ2n−1 . Òîãäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû
áóäåò ñëåäîâàòü èç òîãî ôàêòà, ÷òî σYk + µ èìåþò òî æå ðàñïðåäåëåíèå,
÷òî è Xk , k = 1, . . . , n, è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðåäåëåíèå X ñîâïàäàåò ñ
ðàñïðåäåëåíèåì σY + µ, à ðàñïðåäåëåíèå SY  ñ ðàñïðåäåëåíèåì nS 2 /σ 2 .
   Ââåäåì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
                                     n
                                     X
                         Zk =              cki Yi , k = 1, . . . , n,
                                     i=1

êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì ìàòðèöû C = k cki k ëèíåéíûõ ïðåîáðàçî-
âàíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , . . . , Yn . Ïóñòü ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ýòîé
                                  √
ìàòðèöû c11 = . . . = c1n = 1/ n, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû C âû-
áåðåì òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå C íà òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó C0 áûëî
åäèíè÷íîé ìàòðèöåé: CC0 = I. Êàê èçâåñòíî, òàêîé âûáîð C âîçìîæåí, è
ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé. Ñëó-
÷àéíûå âåëè÷èíû Z1 , . . . , Zn ðàñïðåäåëåíû â ñîîòâåòñòâèè ñ n-ìåðíûì íîð-
ìàëüíûì çàêîíîì, äëÿ ñïåöèôèêàöèè êîòîðîãî äîñòàòî÷íî íàéòè âåêòîð
ñðåäíèõ çíà÷åíèé ýòèõ âåëè÷èí è ìàòðèöó èõ êîâàðèàöèé.
   Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ
                           n
                           X                    n
                                                X
          mk = EZk = E               cki Yk =         cki EYk = 0, k = 1, . . . , n.
                            i=1                 i=1

  Äàëåå, ïîñêîëüêó ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ, êîâàðèàöèè ýòèõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí
                                                                           n
                                                                           X                n
                                                                                            X
  cov(Zk , Zj ) = E(Zk − mk )(Zj − mj ) = EZk Zj = E                             cki Yi ·         cji Yi =
                                                                           i=1              i=1
                           n
                           X                          n
                                                      X
                       E         cki cji Yi2   +E            cki cjl Yi Yl .
                           i=1                        i6=l

                                                220

Страницы