Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ σ, λ
n
1−K
n
(λ) = 1−α. (1−α)
σ
2
X
n
1
(X
k
−µ)
2
/K
−1
n
(α),
K
−1
n
(α) α
n
µ σ
2
σ
2
µ,
S
2
= n
−1
X
n
1
(X
k
−X)
2
σ
2
,
µ, X
k
− X
X
k
X
k
− µ, k = 1, . . . , n.
σ,
µ, σ,
H(S
2
, σ
2
) = S
2
/σ
2
.
Y
k
= (X
k
− µ)/σ, k = 1, . . . , n,
H(S
2
, σ
2
) = n
−1
X
n
1
(Y
k
− Y )
2
.
µ
σ,
1
0
2
0
.
(X −µ)/σ
S/σ µ σ,
µ
|X − µ |/S.
X S
2
.
(µ, σ
2
)
âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò µ è σ, è â ñèëó ëåììû 6.1 ïîñòîÿííàÿ λ îïðåäåëÿ-
åòñÿ êâàíòèëüþ õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû  êîðíåì
óðàâíåíèÿ 1−Kn (λ) =X 1−α. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðõíÿÿ (1−α)-äîâåðèòåëüíàÿ
                         n
ãðàíèöà äëÿ σ 2 ðàâíà      (Xk − µ)2 /Kn−1 (α), ãäå, â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøèìè
                          1
ñòàíäàðòíûìè îáîçíà÷åíèÿìè, Kn−1 (α) åñòü α-êâàíòèëü õè-êâàäðàò ðàñïðå-
äåëåíèÿ ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
   Èñïîëüçóåìûå â ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ ìåòîäû ïîäáîðà îïîðíûõ ôóí-
êöèé, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå èíâàðèàíòíîñòè ñòàòèñòèê (îöåíîê ïàðàìåò-
ðîâ µ è σ 2 ) îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïîçâîëÿþò àíàëîãè÷-
íûì îáðàçîì ïîäáèðàòü òàêèå ôóíêöèè è â ñëó÷àå íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé
ìåøàþùåãî ïàðàìåòðà. Òàê, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ äî-
âåðèòåëüíûõ ãðàíèö  Xäëÿ   σ 2 ïðè íåèçâåñòíîì µ, òî åñòåñòâåííî îáðàòèòüñÿ
                       n
ê îöåíêå S 2 = n−1       (Xk −X)2 ïàðàìåòðà σ 2 , çàìå÷àÿ, ÷òî åå ðàñïðåäåëå-
                      1
íèå íå çàâèñèò îò µ, ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç ðàçíîñòåé Xk − X èíâàðèàíòíà
îòíîñèòåëüíî ñäâèãà, êîãäà Xk çàìåíÿåòñÿ íà Xk − µ, k = 1, . . . , n. Åñëè
ðàçäåëèòü ýòè ðàçíîñòè íà σ, òî ìû ïîëó÷èì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñ-
ïðåäåëåíèå êîòîðûõ íå çàâèñèò êàê îò µ, òàê è îò σ, è òàêèì îáðàçîì ìû
ïðèõîäèì ê èíâàðèàíòíîé îïîðíîé ôóíêöèè H(S 2 , σ 2 ) = S 2 /σ 2 . Äëÿ âû-
âîäà ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ìîæíî îáðàòèòüñÿ ê íîðìàëüíûì (0, 1)
ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì Yk = (Xk X       − µ)/σ, k = 1, . . . , n, ïîñêîëüêó, â ÷åì
                                       n
ëåãêî óáåäèòüñÿ, H(S 2 , σ 2 ) = n−1     (Yk − Y )2 .
                                       1
   Åñëè îáðàòèòüñÿ ê çàäà÷å äîâåðèòåëüíîé èíòåðâàëüíîé îöåíêè µ ïðè
íåèçâåñòíîì çíà÷åíèè σ, òî çäåñü èíâàðèàíòíóþ îïîðíóþ ôóíêöèþ ìîæíî
ïîñòðîèòü, êîìáèíèðóÿ åå èç îïîðíûõ ôóíêöèé çàäà÷ 10 è 20 . Êàê ìû âèäå-
ëè ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷, ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (X −µ)/σ è
S/σ íå çàâèñÿò îò µ è σ, è ïîýòîìó â êà÷åñòâå îïîðíîé ôóíêöèè ïðè èíòåð-
âàëüíîé îöåíêå µ ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïîðíóþ ôóíêöèþ, îïðåäåëÿåìóþ
îòíîøåíèåì ýòèõ âåëè÷èí, òî åñòü ôóíêöèþ | X − µ |/S.
   Îäíàêî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íà îñíîâå òàêèõ ôóí-
êöèé íàì íåîáõîäèìî íàéòè ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèê X è S 2 .
Ìû ïîëó÷èì ýòî ðàñïðåäåëåíèå â ñëåäóþùåé ëåêöèè, ñôîðìóëèðîâàâ åãî
â âèäå óòâåðæäåíèÿ, èçâåñòíîãî â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå êàê ëåììà
Ôèøåðà.

                                                                    Ëåêöèÿ 10
  Òåîðåìà 6.1.  ñëó÷àå âûáîðà èç íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ
                                      219

Страницы