Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Y
1
, . . . , Y
n
EY
i
= 0, EY
2
i
= DY
i
= 1, i 6= l
EY
i
Y
l
= EY
i
EY
l
= 0,
cov(Z
k
, Z
j
) =
n
X
i=1
c
ki
c
ji
, k, j = 1, . . . , n.
k 6= j, k = j,
Z
1
, . . . , Z
n
N(0, 1).
Y
1
, . . . , Y
n
Y S
Y
Z
1
, . . . , Z
n
.
Z
1
=
n
X
i=1
c
1i
Y
i
=
1
√
n
n
X
i=1
Y
i
,
Y = Z
1
/
√
n.
X
n
1
Z
2
k
=
X
n
1
Y
2
k
. S
Y
S
Y
n
=
1
n
n
X
1
Y
2
k
− Y
2
=
1
n
n
X
1
Z
2
k
−
Z
2
1
n
=
1
n
n
X
2
Z
2
k
.
Y Z
1
/
√
n,
S
Y
n − 1
Z
1
(0, 1)
Y S
Y
Y ∼ N(0, 1/n), S
Y
∼ χ
2
n−1
µ σ
3
0
.
Åñëè çàíåñòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïîä çíàêè ñóìì è âñïîìíèòü, ÷òî
Y1 , . . . , Yn íåçàâèñèìû, EYi = 0, EYi2 = DYi = 1, à ïðè i 6= l ñðåäíèå
çíà÷åíèÿ EYi Yl = EYi EYl = 0, òî ïîëó÷èì, ÷òî
                                      n
                                      X
                    cov(Zk , Zj ) =         cki cji ,   k, j = 1, . . . , n.
                                      i=1

Ïîñêîëüêó äëÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ìàòðèöû ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíà íóëþ,
åñëè k 6= j, è ðàâíà åäèíèöå, åñëè k = j, òî ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ,
÷òî Z1 , . . . , Zn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî ñòàíäàðòíîìó íîð-
ìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1). Òàêèì îáðàçîì, îðòîíîðìèðîâàííûå ïðåîáðàçî-
âàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Y1 , . . . , Yn íå èçìåíèëè èõ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäå-
ëåíèå.
   Òåïåðü ïðåäñòàâèì íàøè ñòàòèñòèêè Y è SY â òåðìèíàõ ñëó÷àéíûõ âå-
ëè÷èí Z1 , . . . , Zn . Ïîñêîëüêó
                                    n
                                    X                      n
                                                    1 X
                             Z1 =         c1i Yi = √       Yi ,
                                    i=1
                                                     n i=1
              √
òî Y = Z1 / n. Äàëåå, îðòîíîðìèðîâàííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèåXñîõðà-
                                                                n
íÿåò ñóììó êâàäðàòîâ êîìïîíåíò ïðåîáðàçóåìîãî âåêòîðà, òî åñòü    Zk2 =
Xn                                                                             1
     Yk2 .   Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòèêà SY â íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèîáðåòàåò
   1
âèä
                         n                         n                      n
             SY   1X 2        2   1 X 2 Z12       1X 2
                =       Y −Y =        Z −      =       Z .
              n   n 1 k          n 1 k      n     n 2 k
                                                         √
   Èòàê, ðàñïðåäåëåíèå Y ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì Z1 / n, à ðàñïðå-
äåëåíèå SY  ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñóììû êâàäðàòîâ n − 1 íåçàâèñèìûõ â
ñîâîêóïíîñòè è íåçàâèñÿùèõ îò Z1 íîðìàëüíûõ (0, 1) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Ñëåäîâàòåëüíî, Y è SY íåçàâèñèìû, Y ∼ N (0, 1/n), SY ∼ χ2n−1 (ñì. ëåììó
6.1), è ëåììà Ôèøåðà äîêàçàíà.
  Óñòàíîâèâ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è âûáîðî÷-
íîé äèñïåðñèè â ñëó÷àå âûáîðà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ìû ìîæåì
ïðèñòóïèòü ê ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ êàæäîãî èç ïà-
ðàìåòðîâ µ è σ ïðè íåèçâåñòíîì çíà÷åíèè äðóãîãî ïàðàìåòðà.
  30 . Âåðõíÿÿ äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà äëÿ äèñïåðñèè íîðìàëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîì ñðåäíåì. Ýòà ãðàíèöà íà-


                                             221

Страницы