Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

nS
2
σ
2
=
X
n
1
(X
k
− X)
2
σ
2
=
n
X
k=1
Ã
X
k
− µ
σ
−
1
n
n
X
i=1
X
i
− µ
σ
!
2
=
n
X
1
(Y
k
− Y )
2
(2)
n −1
(1−α)
λ
α
= K
−1
(α)
P (nS
2
/σ
2
≥ λ) = 1 − K
n−1
(λ) = 1 − α,
σ
2
≤ σ
2
n
= nS
2
/K
−1
n−1
(α)
1 − α.
4
0
.
|X −µ |/S,
|X − µ |/S ≤ λ.
T
ν
= ξ
√
ν/
p
χ
2
ν
, ξ ∼ N(0, 1), χ
2
ν
ξ ν
µ
X
k
Y
k
H =
X −µ
S
√
n − 1 =
1
√
n
X
n
1
Y
k
q
X
n
1
(Y
k
− Y )
2
√
n − 1,
Y
k
=
X
k
− µ
σ
∼ N(0, 1), k = 1, . . . , n,
√
n − 1,
µ σ. T
n−1
H
õîäèòñÿ íàèáîëåå ïðîñòî, ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå îïîðíîé ôóíêöèè
         Xn                           Ã                          !2
 nS 2          (Xk − X)2        n
                                X         Xk − µ
                                                     n
                                                   1 X Xi − µ
                                                                        n
                                                                        X
     =     1
                            =                    −                    =   (Yk − Y )2
  σ2            σ2                          σ      n   i=1
                                                             σ           1
                                k=1
                                                                     (2)
åñòü õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ñì. òåîðåìó 6.1).
Ñëåäîâàòåëüíî, âåðõíÿÿ (1−α)-äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà îïðåäåëÿåòñÿ êâàí-
òèëüþ λα = K −1 (α) õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ  êîðíåì óðàâíåíèÿ

                     P (nS 2 /σ 2 ≥ λ) = 1 − Kn−1 (λ) = 1 − α,
                                                −1
è äîâåðèòåëüíîå óòâåðæäåíèå σ 2 ≤ σ n2 = nS 2 /Kn−1 (α) âûïîëíÿåòñÿ ñ çà-
äàííîé âåðîÿòíîñòüþ 1 − α.
   40 . Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè. Â ýòîé
çàäà÷å ìû èìååì äåëî ñ äâóñòîðîííèìè äîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè (äî-
âåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì), è â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáîðîì îïîðíîé ôóíêöèè
| X −µ |/S, î êîòîðîé ìû ãîâîðèëè ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 6.1, íàì
ïîòðåáóåòñÿ çíàíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ âèäà | X − µ |/S ≤ λ.
    íà÷àëå XIX âåêà àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê Â.Ãîññåò, ïèñàâøèé ïîä ïñåâ-
äîíèìîì Ñòüþäåíò    (Student), íàøåë ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
        √ p 2
Tν = ξ ν/ χν , ãäå ξ ∼ N (0, 1), à χ2ν  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, íå çàâèñÿ-
ùàÿ îò ξ è ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó õè-êâàäðàò ñ ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Åñòåñòâåííî, åãî èññëåäîâàíèÿ áûëè ñâÿçàíû ñ ïðîáëåìàìè ñòàòèñòè÷åñêî-
ãî âûâîäà î ñðåäíåì çíà÷åíèè µ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñò-
íîé äèñïåðñèè, è Ñòüþäåíò èñêàë ðàñïðåäåëåíèå îïîðíîé ôóíêöèè (ñì. (2))
â ñâÿçè ñ ïåðåõîäîì â çàïèñè îïîðíîé ôóíêöèè â òåðìèíàõ Xk ê Yk )
                                            Xn
                                         1
                    X − µ√              √
                                          n
                                                 Yk √
                                               1
               H=                   q
                            n − 1 = Xn                 n − 1,
                       S                    (Yk − Y )2
                                                   1

                       Xk − µ
                     Yk =      ∼ N (0, 1), k = 1, . . . , n,
                          σ
êîòîðàÿ
    √ îòëè÷àåòñÿ îò âûáðàííîé íàìè îïîðíîé ôóíêöèè òîëüêî ìíîæèòå-
ëåì n − 1, è ïîýòîìó òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà â ïîñòðîåíèè äîâå-
ðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ µ ïðè íåèçâåñòíîì σ. Òî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ Tn−1
è H ñîâïàäàþò, ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.1: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà â çíàìåíàòåëå

                                             222

Страницы