Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t
α
= S
−1
n−1
(1 − α/2), (1 − α) µ
X ± St
α
/
√
n − 1.
µ σ
2
θ
ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
) θ
σ
2
(θ)/n θ
θ [ nI(θ) ]
−1
n → ∞
P
θ
Ã
|
ˆ
θ
n
− θ |
σ(θ)
√
n ≤ λ
α
!
−→ 1 − α,
θ ∈ Θ, λ
α
= Φ
−1
(1−α/2),
(1 − α)
∆
n
(X
(n)
) =
(
θ :
|
ˆ
θ
n
− θ |
σ(θ)
√
n ≤ λ
α
)
\
Θ.
∆
n
R
θ.
îòêóäà tα = S−1
             n−1 (1 − α/2), è (1√− α)-äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ µ îïðå-
äåëÿåòñÿ ïðåäåëàìè X ± Stα / n − 1.

   Èòàê, ìû ïîñòðîèëè äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ ïàðàìåòðîâ µ è σ 2 íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàáëèöû íîðìàëüíîãî, õè-êâàäðàò è ñòüþäåíò-
ñêîãî ðàñïðåäåëåíèé, à òàêæå êâàíòèëåé ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé, íåîáõîäè-
ìûå äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè äîâåðèòåëüíûõ îöåíîê, ñìîòðèòå â êíèãå
Áîëüøåâ Ë.Í., Ñìèðíîâ Í.Â. Òàáëèöû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, Ì.: Íà-
óêà, 1983, êîòîðàÿ â äàëüíåéøåì áóäåò öèòèðîâàòüñÿ êàê ÒÌÑ. Åùå ðàç
îòìåòèì, ÷òî âîçìîæíîñòü äîâåðèòåëüíîé îöåíêè ýòèõ ïàðàìåòðîâ îïðå-
äåëÿëàñü, â îñíîâíîì, èíâàðèàíòíîñòüþ ñåìåéñòâà íîðìàëüíûõ ðàñïðåäå-
ëåíèé îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé. Òî÷íî òàê æå ìû
ìîæåì ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ ïàðàìåòðà θ ïîêàçàòåëüíî-
ãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè äëÿ ïàðàìåòðà ìàñøòàáà ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè
èçâåñòíîì ïàðàìåòðå ôîðìû; ìû âåðíåìñÿ ê ýòèì çàäà÷àì ïîçäíåå ïðè îá-
ñóæäåíèè ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè äîâåðèòåëüíîé îöåíêè. ×òî æå êàñàåòñÿ
äðóãèõ ðàñïðåäåëåíèé, òî çäåñü ïðîáëåìà îñëîæíÿåòñÿ îòñóòñòâèåì èíâà-
ðèàíòíûõ îïîðíûõ ôóíêöèé è íåâîçìîæíîñòüþ ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå
îöåíîê ïàðàìåòðà, äëÿ êîòîðîãî ñòðîÿòñÿ äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû, â ÿâíîì
âèäå. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî îáùèé ïîäõîä ê äàííîé ïðîáëå-
ìå, îñíîâàííûé íà àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíîê
ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ èëè ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
   Ïóñòü θ̂n = θ̂n (X (n) )  àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíàÿ ñî ñðåäíèì θ è äèñ-
ïåðñèåé σ 2 (θ)/n îöåíêà ïàðàìåòðà θ (íàïðèìåð, ïðè îïðåäåëåííûõ óñëî-
âèÿõ ðåãóëÿðíîñòè (ñì. òåîðåìó 4.2) îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñî ñðåäíèì θ è äèñïåðñèåé [ nI(θ) ]−1 ). Òîãäà
ïðè n → ∞ âåðîÿòíîñòü
                        Ã                           !
                             | θ̂n − θ | √
                   Pθ                      n ≤ λα       −→ 1 − α,
                                 σ(θ)

ïðè ëþáîì θ ∈ Θ, åñëè λα = Φ−1 (1−α/2), è ìû ïîëó÷àåì àñèìïòîòè÷åñêè
(1 − α)-äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî
                                  (                             )
                                         | θ̂n − θ | √              \
                       (n)
               ∆n (X         )=       θ:               n ≤ λα           Θ.
                                             σ(θ)
  Åñëè ∆n åñòü èíòåðâàë íà ïðÿìîé R, òî ìû ðåøèëè çàäà÷ó èíòåðâàëü-
íîé îöåíêè ïàðàìåòðà θ. Åñëè æå ýòî íåêîòîðîå âû÷óðíîå è íåïðèãîäíîå

                                            224

Страницы