Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
0
.
P(θ) f(x |θ) = P
θ
(X =
x) = θ
x
e
θ
/x!, x = 0, 1, 2, . . . , θ,
X
(n)
n,
X.
nX ∼ P(nθ),
θ,
X
(θ, θ/n),
∆
n
= {θ : θ > 0, |X − θ | ≤ λ
α
p
θ/n}.
θ
X +
λ
2
α
2n
± λ
α
s
X
n
+
λ
2
α
4n
2
.
σ
2
(θ) = θ X,
X ± λ
α
q
X/n .
θ.
   60 . Àñèìïòîòè÷åñêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåò-
ðà èíòåíñèâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàñ-
ñîíà P(θ) ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè (ïî ñ÷èòàþùåé ìåðå) f (x | θ) = Pθ (X =
x) = θx eθ /x!, x = 0, 1, 2, . . . , èíäåêñèðóåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ïàðàìåòðîì θ,
îïòèìàëüíàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà êîòîðîãî ïî âûáîðêå X (n) îáúåìà n, êàê
è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì X. Äëÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà òàêæå ñïðàâåäëèâà òåîðåìà ñëîæåíèÿ: nX ∼ P(nθ),
è íà îñíîâå ýòîãî ìîæíî ïîñòðîèòü òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ θ,
òàáëèöà êîòîðûõ èìååòñÿ â óïîìÿíóòîì ñáîðíèêå ÒÌÑ. Íî îöåíêà X àñèì-
ïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà (θ, θ/n), ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü àñèìïòîòè÷åñêè
                                                                 p
äîâåðèòåëüíóþ îáëàñòü ∆n = {θ : θ > 0, | X − θ | ≤ λα θ/n}. Ðåøå-
íèå íåðàâåíñòâ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ îòíîñèòåëüíî θ äàåò àñèìïòîòè÷åñêè
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
                                             s
                                       2
                                      λ         X    λ2
                             X + α ± λα           + α2 .
                                      2n        n    4n

Íàêîíåö, çàìåíÿÿ σ 2 (θ) = θ åå îöåíêîé X, ïîëó÷àåì òàêæå àñèìïòîòè÷å-
ñêè äîâåðèòåëüíûé,
                q íî, êàê ïîêàçûâàþò ÷èñëîâûå ðàñ÷åòû, ìåíåå òî÷íûé
èíòåðâàë X ± λα      X/n .
   Íà ýòîì ìû çàêàí÷èâàåì èçëîæåíèå ïðîñòåéøèõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ äî-
âåðèòåëüíûõ è àñèìïòîòè÷åñêè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íà îñíîâå ïîä-
áîðà îïîðíûõ ôóíêöèé. Î ïðîáëåìå îïòèìàëüíîãî èíòåðâàëüíîãî îöåíèâà-
íèÿ ìû ïîãîâîðèì ïîçäíåå, èçó÷èâ òåîðèþ îïòèìàëüíîé ïðîâåðêè ãèïîòåç
 âûñêàçûâàíèé î âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà θ. Îñòàâøèåñÿ ëåêöèè
áóäóò ïîñâÿùåíû èìåííî ýòîé òåîðèè.




                                     226

Страницы