Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ.
Θ
i
= Θ
d
i
, i = 0, 1,
H
0
: θ ∈ Θ
0
H
1
: θ ∈ Θ
1
H
i
Θ
i
Θ H
i
i = 0, 1.
θ
H
0
: θ = 1/2
H
1
: θ > 1/2
H
0
,
H
1
H
1
S X
n
,
x
(n)
H
0
H
1
. A = S
c
= X
n
\ S
ϕ = ϕ(X
(n)
),
ϕ(X
(n)
)
X
(n)
∈ S,
X
(n)
∈ A.
Eϕ(X
(n)
) H
0
.
H
i
,
θ ∈ Θ
1−i
, i = 0, 1; H
i
θ ∈ Θ
i
, i = 0, 1,
θ
m(θ) = E
θ
ϕ(X
(n)
) = P
θ
(X
(n)
∈ S),
ϕ.
ïàðàìåòðà θ.  íàøåé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå âûáîðà îäíîãî èç äâóõ ðå-
øåíèé ïîëîæèì Θi = Θdi , i = 0, 1, è ââåäåì ðÿä ïîíÿòèé è îïðåäåëåíèé,
èñïîëüçóåìûõ ïðè ðåøåíèè ýòîé ïðîáëåìû.
   Óòâåðæäåíèå H0 : θ ∈ Θ0 íàçûâàåòñÿ íóëåâîé ãèïîòåçîé, à óòâåðæäå-
íèå H1 : θ ∈ Θ1  àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé èëè (êîðîòêî) àëüòåðíà-
òèâîé. Ãèïîòåçà Hi íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå Θi ñîñòîèò
èç îäíîé òî÷êè ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå Hi
íàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ãèïîòåçîé; i = 0, 1. Òàê, â ïðèìåðå 1.2 ñ èñïûòàíè-
åì íîâîãî ëå÷åáíîãî ïðåïàðàòà ïàðàìåòð θ îçíà÷àë âåðîÿòíîñòü óñïåøíîãî
ëå÷åíèÿ êàæäîãî ïàöèåíòà, è íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 : θ = 1/2 î íåéòðàëü-
íîñòè ïðåïàðàòà åñòü ïðîñòàÿ ãèïîòåçà, â òî âðåìÿ êàê àëüòåðíàòèâíàÿ
ãèïîòåçà H1 : θ > 1/2 îá åãî ýôôåêòèâíîñòè  ñëîæíàÿ ãèïîòåçà.
   Ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó ïðèíèìàåòñÿ èëè îòâåðãàåòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà
H0 , íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì. Èíîãäà äîáàâëÿåòñÿ  êðèòåðèé ñîãëàñèÿ (ñ
íóëåâîé ãèïîòåçîé), îñîáåííî, êîãäà àëüòåðíàòèâà H1 îïðåäåëåíà íå ñîâñåì
÷åòêî è ïîä H1 ïîäðàçóìåâàåòñÿ âñå îñòàëüíîå .  ñëó÷àå ïîëíîãî ðàâíî-
ïðàâèÿ ãèïîòåç ãîâîðÿò î êðèòåðèè ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç. Êðèòåðèé îïðå-
äåëÿåòñÿ çàäàíèåì îñîáîãî ïîäìíîæåñòâà S âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà Xn ,
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ: åñëè âûáîðî÷íûå äàííûå x(n)
ïîïàäàþò â ýòó îáëàñòü, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 îòêëîíÿåòñÿ è ïðèíèìàåòñÿ
àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèå  ñïðàâåäëèâà H1 . Îáëàñòü A = S c = Xn \ S íà-
çûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû. Íàì áóäåò óäîáíî ïðîâî-
äèòü ñïåöèôèêàöèþ êðèòè÷åñêîé îáëàñòè â âèäå åå èíäèêàòîðíîé ôóíêöèè
ϕ = ϕ(X (n) ), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé ôóíêöèåé èëè, ïîñêîëüêó
îíà îïðåäåëÿåò ñòàòèñòè÷åñêîå ïðàâèëî ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ïðîñòî êðèòå-
ðèåì. Èòàê, ôóíêöèÿ ϕ(X (n) ) åñòü áèíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíè-
ìàþùàÿ çíà÷åíèå 1, åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå X (n) ∈ S, è çíà÷åíèå 0, åñëè
ïðîèçîøëî ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå X (n) ∈ A. Ïîíÿòíî, ÷òî ìàòåìàòè÷å-
ñêîå îæèäàíèå Eϕ(X (n) ) îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ ãèïîòåçû H0 .
    ðàññìàòðèâàåìîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå âåëè÷èíà ðèñêà, ñâÿçàííàÿ
ñ îòêëîíåíèåì âåðíîé ãèïîòåçû, îáû÷íî ñîîòíîñèòñÿ ñ ôóíêöèåé ïîòåðü òè-
ïà 1  0: ïîòåðè ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè 1, åñëè ïðèíÿòà ãèïîòåçà Hi , à â äåé-
ñòâèòåëüíîñòè θ ∈ Θ1−i , i = 0, 1; åñëè æå ïðèíÿòà Hi è θ ∈ Θi , i = 0, 1, òî
ïîòåðè ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âåëè÷èíà ðèñêà ïðè
ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè
m(θ) = Eθ ϕ(X (n) ) = Pθ (X (n) ∈ S), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ìîùíî-
ñòè êðèòåðèÿ ϕ. Ýòà ôóíêöèÿ óêàçûâàåò, êàê ÷àñòî ìû îòêëîíÿåì íóëåâóþ

                                     228

Страницы