Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 229 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
m(θ)
Θ
0
Θ
1
.
α(θ) = m(θ) θ ∈ Θ
0
β(θ) = 1 − m(θ) θ ∈ Θ
1
. α(θ), θ ∈ Θ
0
H
0
, (θ ∈ Θ
0
β(θ), θ ∈ Θ
1
H
0
,
H
1
: θ ∈ Θ
1
).
m(θ) Θ
1
H
0
,
θ ∈ Θ
1
, m(θ) θ ∈ Θ
1
ϕ.
n
α(θ) = P
θ
(X
(n)
∈ S), θ ∈ Θ
0
,
S,
A
β(u) = P
u
(X
(n)
∈ A), u ∈ Θ
1
.
θ
H
0
,
α,
S ϕ α(θ) ≤ α,
θ ∈ Θ
0
. α
ϕ,
α.
ãèïîòåçó, êîãäà θ  èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, è õîðîøèì ñëåäóåò ñ÷è-
òàòü òîò êðèòåðèé, ó êîòîðîãî ôóíêöèÿ m(θ) ïðèíèìàåò áëèçêèå ê íóëþ
çíà÷åíèÿ â îáëàñòè Θ0 è áëèçêèå ê åäèíèöå  â îáëàñòè Θ1 .  ñâÿçè ñ
ýòèì ââîäÿòñÿ äâå êîìïîíåíòû ôóíêöèè ðèñêà: α(θ) = m(θ) ïðè θ ∈ Θ0
è β(θ) = 1 − m(θ) ïðè θ ∈ Θ1 . Ôóíêöèÿ α(θ), θ ∈ Θ0 íàçûâàåòñÿ âåðî-
ÿòíîñòüþ îøèáêè ïåðâîãî ðîäà  îíà óêàçûâàåò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó
îòêëîíåíèÿ ãèïîòåçû H0 , êîãäà îíà â äåéñòâèòåëüíîñòè âåðíà (θ ∈ Θ0 ).
Ôóíêöèÿ β(θ), θ ∈ Θ1 íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè âòîðîãî ðîäà 
îíà óêàçûâàåò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû H0 , êîãäà îíà
ëîæíà (âåðíà àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà H1 : θ ∈ Θ1 ). Çàìåòèì, ÷òî ôóíê-
öèÿ ìîùíîñòè m(θ) â îáëàñòè Θ1 òðàêòóåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ
ãèïîòåçû H0 , êîãäà â äåéñòâèòåëüíîñòè âûáîð èäåò èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
àëüòåðíàòèâíûì çíà÷åíèåì θ ∈ Θ1 , è ïîýòîìó ÷àñòü m(θ) ïðè θ ∈ Θ1 íà-
çûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ ϕ.
   Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå íàáëþäåíèé n íåâîçìîæ-
íî îäíîâðåìåííî ìèíèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòè îáåèõ îøèáîê,  äëÿ óìåíü-
øåíèÿ âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α(θ) = Pθ (X (n) ∈ S), θ ∈ Θ0 ,
íåîáõîäèìî óìåíüøèòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü S, ÷òî ïðèâåäåò ê óâåëè÷å-
íèþ îáëàñòè A ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû è, ñëåäîâàòåëüíî, ê óâåëè÷å-
íèþ âåðîÿòíîñòè îøèáêè âòîðîãî ðîäà β(u) = Pu (X (n) ∈ A), u ∈ Θ1 . Çäåñü
âîçíèêàåò òàêàÿ æå ñèòóàöèÿ, ÷òî è â ïðîáëåìå ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ïàðà-
ìåòðà θ ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíûì ðèñêîì,  òàêèå îöåíêè ñóùåñòâóþò
òîëüêî â îïðåäåëåííîì êëàññå ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðàâèë, íàïðèìåð, â êëàñ-
ñå íåñìåùåííûõ îöåíîê. Îäíàêî, äàæå è ïîìèìî çàäà÷è ïðîâåðêè ãèïîòåç
ñ ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè, è íàìíîãî ðàíüøå ñîçäàíèÿ îáùåé
òåîðèè íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ â ñòàòèñòè÷åñêîé ïðàêòèêå ñëîæèëñÿ
ñëåäóþùèé ïîäõîä ê óïðàâëåíèþ ðèñêîì êðèòåðèÿ.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòêëîíåíèå ãèïîòåçû H0 , êîãäà îíà â äåéñòâèòåëüíî-
ñòè âåðíà, ïðèâîäèò ê áîëåå òÿæêèì ïîñëåäñòâèÿì, ÷åì åå ïðèíÿòèå ïðè
ñïðàâåäëèâîñòè àëüòåðíàòèâû.  òàêîì ñëó÷àå ìû çàèíòåðåñîâàíû â ïåð-
âóþ î÷åðåäü êîíòðîëèðîâàòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà. Ñ ýòîé öå-
ëüþ çàðàíåå ôèêñèðóåòñÿ (âûáèðàåòñÿ) íåêîòîðûé óðîâåíü α, âûøå êîòîðî-
ãî âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà íå äîïóñòèìà, è êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
S (êðèòåðèé ϕ) îïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî α(θ) ≤ α, êàêîâî áû íè
áûëî θ ∈ Θ0 . Ýòî îãðàíè÷åíèå α íà âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà íàçû-
âàåòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè, à ñàì êðèòåðèé ϕ, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ
ýòî îãðàíè÷åíèå,  êðèòåðèåì óðîâíÿ α. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè

                                   229

Страницы