Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 231 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C = C(α)
√
n|
ˆ
θ
n
(X
(n)
) −θ
0
|; C
α. θ (6= θ
0
)
√
n|
ˆ
θ
n
(X
(n)
)−θ
0
|→
P
∞,
β(θ) = P
θ
(
√
n|
ˆ
θ
n
(X
(n)
) −θ
0
| ≤ C(α)) → 0,
n → ∞.
α,
n.
ϕ α,
θ ∈ Θ
1
m(θ)
θ ∈ Θ
1
β(θ).
α
1
0
.
H
0
: µ ≤ µ
0
H
1
: µ > µ
0
µ
(µ, σ
2
) σ
2
.
X = n
−1
X
n
1
X
k
µ,
H
0
,
√
n(X −µ
0
) > C, X > C,
µ
0
n C
α,
(µ, σ
2
)
X ∼ N(µ, σ
2
/n),
m(µ) = P
µ
(X > C) = 1 − Φ
µ
C − µ
σ
√
n
= Φ
µ
µ − C
σ
√
n
.
íàõîäèì êðèòè÷åñêóþ êîíñòàíòó C = C(α) êàê êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ
                       √
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû n| θ̂n (X (n) ) − θ0 |; òàêîé âûáîð C ïðèâîäèò ê êðèòå-
ðèþ óðîâíÿ α. Åñëè θ (6= θ0 )  íåêîòîðîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèå ïàðàìåò-
                                       √
ðà, òî, â ñèëó ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè, n| θ̂n (X (n) )−θ0 | → ∞, è ïîýòîìó âå-
                                                       P
                                         √         (n)
ðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà β(θ) = Pθ ( n| θ̂n (X ) − θ0 | ≤ C(α)) → 0,
êîãäà n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì êðèòåðèé çàäàííîãî óðîâíÿ
α, îáëàäàþùèé ê òîìó æå ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíîñòè  åãî âåðîÿòíîñòü
îøèáêè âòîðîãî ðîäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè
îáúåìà âûáîðêè n.
   Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü îñíîâíóþ çàäà÷ó òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîâåð-
êè ãèïîòåç: òðåáóåòñÿ íàéòè òàêîé êðèòåðèé ϕ óðîâíÿ α, êîòîðûé ðàâ-
íîìåðíî ïî âñåì θ ∈ Θ1 ìàêñèìèçèðóåò ìîùíîñòü m(θ) èëè, ÷òî òî æå,
ðàâíîìåðíî ïî θ ∈ Θ1 ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà
β(θ). Ìû óêàæåì ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ
êðèòåðèåâ çàäàííîãî óðîâíÿ α â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, à ïîêà îáðàòèìñÿ
ê èëëþñòðàöèÿì ââåäåííûõ ïîíÿòèé è ïîñòðîåíèþ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëü-
çóåìûõ íà ïðàêòèêå êðèòåðèåâ, êàñàþùèõñÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

   10 . Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î âåëè÷èíå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè. Ðàññìîòðèì
ñíà÷àëà íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùóþñÿ â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèÿõ ìà-
òåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè çàäà÷ó ïðîâåðêè ñëîæíîé ãèïîòåçû H0 : µ ≤ µ0
ïðè ñëîæíîé àëüòåðíàòèâå H1 : µ > µ0 î ñðåäíåì çíà÷åíèè µ íîðìàëüíîãî
(µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ                                    2
                   Xn ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè äèñïåðñèè σ . Âûáîðî÷íîå
ñðåäíåå X = n−1         Xk åñòü îïòèìàëüíàÿ îöåíêà íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ
                      1
µ, è ïîýòîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ òîëüêî ÷òî ïðåäëîæåííûì ìåòîäîì ïîñòðî-
åíèÿ ñîñòîÿòåëüíûõ êðèòåðèåâ, ðàññìîòðèì êðèòåðèé, îòâåðãàþùèé íóëå-
                         √
âóþ ãèïîòåçó H0 , êîãäà n(X − µ0 ) > C, èëè, ÷òî òî æå, X > C, ïîñêîëüêó
çíà÷åíèÿ µ0 è n ôèêñèðîâàíû è èçâåñòíû. Ïîñòîÿííàÿ C äîëæíà âûáèðàòü-
ñÿ ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α, îãðàíè÷èâàþùåìó ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà.
   Òàê êàê ïðè âûáîðå èç íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêà
X ∼ N (µ, σ 2 /n), òî ôóíêöèÿ ìîùíîñòè ýòîãî êðèòåðèÿ
                                    µ         ¶     µ          ¶
                                      C − µ√          µ − C√
          m(µ) = Pµ (X > C) = 1 − Φ          n =Φ            n .
                                        σ               σ

                                     231

Страницы