Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

µ < µ
0
, µ > µ
0
µ = µ
0
C = C(α) α
m(µ
0
) = 1 −
·
Φ
µ
C
σ
√
n
− Φ
µ
−C
σ
√
n
¸
= 2
·
1 − Φ
µ
C
σ
√
n
¸
= 1 − α,
C(α) = Φ
−1
(1 − α/2)σ/
√
n.
2
0
.
σ
σ
0
σ ≤ σ
0
,
σ > σ
0
.
H
1
: σ ≤ σ
0
,
µ
S
2
= n
−1
X
n
1
(X
k
− X)
2
σ
2
, µ,
nS
2
/σ
2
n−1
nS
2
< C.
m(σ) = P
µ,σ
µ
nS
2
σ
2
≤
C
σ
2
= K
n−1
µ
C
σ
2
σ,
σ = σ
0
, C(α)
α K
n−1
¡
Cσ
−2
0
¢
=
α. C(α) = σ
2
0
K
−1
n−1
(α);
β(σ) = P
µ,σ
¡
nS
2
> C(α)
¢
= 1 − K
n−1
µ
σ
2
0
σ
2
K
−1
n−1
(α)
, σ ≤ σ
0
,
σ σ
0
.
ñòðîãî óáûâàåò ïðè µ < µ0 , âîçðàñòàåò ïðè µ > µ0 è ïðè µ = µ0 ðàâíà
âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà. Òàêèì îáðàçîì, êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà
C = C(α) îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α èç óðàâíåíèÿ
             ·   µ     ¶     µ       ¶¸   ·    µ     ¶¸
                 C√            −C √              C√
 m(µ0 ) = 1 − Φ       n −Φ          n   =2 1−Φ      n   = 1 − α,
                 σ              σ                σ
                             √
îòêóäà C(α) = Φ−1 (1 − α/2)σ/ n.

                                                               Ëåêöèÿ 12

   20 . Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î âåëè÷èíå äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîì ñðåäíåì çíà÷åíèè. Ýòî òèïè÷-
íàÿ çàäà÷à êîíòðîëÿ çà âåëè÷èíîé ñëó÷àéíîé îøèáêè â ïàðàëëåëüíûõ íà-
áëþäåíèÿõ íåêîòîðîé õàðàêòåðèñòèêè èññëåäóåìîãî îáúåêòà. Òàê êàê ïðå-
âûøåíèå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè σ íàä íåêîòîðûì íîìè-
íàëîì σ0 â ñëó÷àå, êîãäà ìû óòâåðæäàåì σ ≤ σ0 , âëå÷åò áîëåå ñåðüåçíûå
ïîñëåäñòâèÿ, ÷åì íåîïðàâäàííûå ïðåòåíçèè ê ñëèøêîì áîëüøîìó ðàçáðîñó
â äàííûõ, òî ñëåäóåò ïðèíÿòü çà íóëåâóþ ãèïîòåçó σ > σ0 . Ïðîâåðêà ýòîé
ãèïîòåçû ïðîâîäèòñÿ ïðè åñòåñòâåííîé àëüòåðíàòèâå H1 : σ ≤ σ0 , ïðè-
÷åì ìû íå çíàåì çíà÷åíèÿ ìåøàþùåãî ïàðàìåòðà µ  ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èç êîòîðîãî ïðîèçâîäèòñÿX    âûáîð.
                                                          n
   Êàê íàì èçâåñòíî, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S = n2     −1
                                                            (Xk − X)2 åñòü
                                                          1
ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà σ 2 , åå ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò µ, à ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà nS 2 /σ 2 èìååò õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ n−1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçóìíî ðàññìîòðåòü êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ
nS 2 < C. Ôóíêöèÿ ìîùíîñòè òàêîãî êðèòåðèÿ
                               µ 2        ¶         µ ¶
                                nS      C             C
                   m(σ) = Pµ,σ       ≤      = K n−1
                                 σ2    σ2            σ2
ìîíîòîííî óáûâàåò ñ ðîñòîì σ, ïîýòîìó íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè
îøèáêè ïåðâîãî ðîäà äîñòèãàåòñÿ ïðè σ = σ0 , è êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå
                                                               ¡ −2 C(α)
                                                                     ¢
êðèòåðèÿ òðåáóåìîãî ðàçìåðà α îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ Kn−1 Cσ0 =
                     −1
α. Èòàê, C(α) = σ02 Kn−1 (α); âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà
                                            µ           ¶
                 ¡           ¢                  σ02 −1
      β(σ) = Pµ,σ nS 2 > C(α) = 1 − Kn−1           K (α) , σ ≤ σ0 ,
                                                σ 2 n−1
ìîíîòîííî óáûâàåò ïî ìåðå îòõîäà èñòèííîãî çíà÷åíèÿ σ îò íîìèíàëà σ0 .

                                   233

Страницы