Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C. T
T =
X − µ
S
√
n − 1 +
µ − µ
0
σ
·
σ
S
√
n − 1.
µ
n −1
∆(µ) = (µ − µ
0
)
√
n − 1/σ
σ/S,
µ σ. σ ∆(µ) µ
T C,
T > C .
µ ≤ µ
0
µ > µ
0
.
µ σ ∆ =
(µ−µ
0
)
√
n − 1/σ,
T = (X −µ
0
)
√
n − 1/S µ σ,
n−1
∆,
µ = µ
0
µ 6= µ
0
|T | > C,
C = C(α) = S
−1
n−1
(1 − α/2).
4
0
.
X Y
X ∼ N(µ
1
, σ
2
), Y ∼ N( µ
2
, σ
2
), DX = DY.
X
(n)
= (X
1
, . . . , X
n
) Y
(m)
= (Y
1
, . . . , Y
m
)
H
0
: µ
1
= µ
2
H
1
: µ
1
> µ
2
.
n
m
è C. Ñ ýòîé öåëüþ ïðåäñòàâèì ñòàòèñòèêó T â ñëåäóþùåì âèäå:

                         X − µ√      µ − µ0 σ √
                   T =          n−1+       ·    n − 1.
                           S           σ     S
Åñëè µ  ñðåäíåå çíà÷åíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èç êîòîðîãî ïðîèñ-
õîäèò âûáîð, òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü ñòüþäåíòîâ-
ñêàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Âòîðîå√ ñëàãàåìîå åñòü
ïðîèçâåäåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè ∆(µ) = (µ − µ0 ) n − 1/σ íà ïî-
ëîæèòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó σ/S, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íå çàâèñèò
îò µ è σ. Ïðè ôèêñèðîâàííîì σ ôóíêöèÿ ∆(µ) âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì µ è ïðè
ýòîì âñå âòîðîå ñëàãàåìîå âîçðàñòàåò, ÷òî âëå÷åò óâåëè÷åíèå âåðîÿòíîñòè
ñîáûòèÿ ïåðåñêîêà ñòàòèñòèêîé T ïîðîãà C, òî åñòü âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ
T > C.
   Èòàê, ìû ïîñòðîèëè êðèòåðèé ïðîâåðêè îäíîñòîðîííåé ãèïîòåçû µ ≤ µ0
ïðè îäíîñòîðîííåé àëüòåðíàòèâå µ > µ0 . Ôóíêöèÿ ìîùíîñòè ýòîãî êðè-
òåðèÿ çàâèñèò
       √       îò µ è σ òîëüêî ÷åðåç ïàðàìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ∆ =
(µ−µ0 ) n − 1/σ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ√ïàðàìåòðîì íåöåíòðàëüíîñòè. Ðàñ-
ïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè T = (X − µ0 ) n − 1/S ïðè ïðîèçâîëüíûõ µ è σ, ÷å-
ðåç êîòîðîå âûðàæàåòñÿ ôóíêöèÿ ìîùíîñòè êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà, íàçûâà-
åòñÿ íåöåíòðàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû;
òàáëèöû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà íåöåíòðàëüíîñòè
∆, ìîæíî íàéòè â ÒÌÑ.
   Ïîíÿòíî, ÷òî ïîñòðîåíèå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû µ = µ0
ïðè äâóñòîðîííåé (ñëîæíîé) àëüòåðíàòèâå µ 6= µ0 íå âûçûâàåò ïðèíöèïè-
àëüíûõ çàòðóäíåíèé. Ýòî êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ | T | > C, ãäå
                                    −1
êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C = C(α) = Sn−1  (1 − α/2).
   40 . Ñðàâíåíèå ñðåäíèõ çíà÷åíèé äâóõ íîðìàëüíûõ ðàñïðå-
äåëåíèé ñ îáùåé íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé (äâóõâûáîðî÷íûé
êðèòåðèé Ñòüþäåíòà). Ïóñòü       X è Y  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-
÷èíû, ïðè÷åì X ∼ N (µ1 , σ ), à Y ∼ N (µ2 , σ 2 ), òàê ÷òî DX = DY. Ïî
                              2

äâóì íåçàâèñèìûì âûáîðêàì X (n) = (X1 , . . . , Xn ) è Y (m) = (Y1 , . . . , Ym )
(âîçìîæíî, ðàçíîãî îáúåìà) òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó îäíîðîäíîñòè
H0 : µ1 = µ2 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : µ1 > µ2 . Òèïè÷íûé ïðèìåð òàêîé
çàäà÷è  âûÿâëåíèå ýôôåêòà íîâîãî ìåòîäà ëå÷åíèÿ íà ãðóïïå èç n ïà-
öèåíòîâ ïîñðåäñòâîì ñðàâíåíèÿ ñ êîíòðîëüíîé ãðóïïîé èç m ïàöèåíòîâ,
ëå÷åíèå êîòîðûõ ïðîâîäèòñÿ ïî ñòàðîé ìåòîäèêå.
   Ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ äëÿ íàñ íåñêîëüêî íîâîé, ïîñêîëüêó äî ñèõ ïîð ìû

                                      235

Страницы