Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3
0
,
X − Y .
E(X − Y ) = µ
1
− µ
2
D(X − Y ) = DX + DY = σ
2
(n
−1
+ m
−1
).
µ
1
= µ
2
ξ =
X − Y
σ
r
nm
n + m
N(0, 1).
nS
2
X
/σ
2
mS
2
Y
/σ
2
n − 1 m − 1
η =
¡
nS
2
X
+ mS
2
Y
¢
/σ
2
n + m − 2
T
n,m
=
ξ
p
η/(n + m − 2)
=
X − Y
p
nS
2
X
+ mS
2
Y
r
nm(n + m − 2)
n + m
,
n + m − 2
3
0
C σ
T
n,m
> C
∆ = (µ
1
−µ
2
)
√
n + m − 2/σ,
C
P (T
n,m
> C) = 1 −S
n+m−2
(C) = α
C(α) = S
−1
n+m−2
(1−α).
H
1
: µ
1
6= µ
2
C(α) = S
−1
n+m−2
(1 − α/2).
σ
2
X
= σ
2
Y
.
α
n
m.
èìåëè äåëî òîëüêî ñ îäíîé âûáîðêîé. Òåì íå ìåíåå, îíà ñâîäèòñÿ ê òîé, ÷òî
ìû òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåëè â 30 , ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ïîñòðîåíèé.
   Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ðàçíîñòü âûáîðî÷íûõ ñðåäíèõ X − Y . Ýòà ñòàòè-
ñòèêà èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì E(X − Y ) = µ1 − µ2 è
äèñïåðñèåé D(X − Y ) = DX + DY = σ 2 (n−1 + m−1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû µ1 = µ2 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
                                      r
                              X −Y         nm
                           ξ=
                                σ         n+m
èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, 1). Äàëåå, íîðìèðî-
                                 2
âàííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè nSX    /σ 2 è mSY2 /σ 2 íåçàâèñèìû è ðàñïðå-
äåëåíû ïî çàêîíó õè-êâàäðàò ñ n − 1 è m − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ñîîò-
âåòñòâåííî. Òàê êàê äëÿ õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ
ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ,
          ¡ 2         èìååò
                      ¢ 2 ìåñòî òåîðåìà ñëîæåíèÿ, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè-
                    2
÷èíà η = nSX + mSY /σ èìååò õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèå ñ n + m − 2
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê äâóõâûáîðî÷íîé ñòà-
òèñòèêå Ñòüþäåíòà
                                                r
                      ξ              X −Y           nm(n + m − 2)
       Tn,m = p                =p 2                               ,
                 η/(n + m − 2)   nSX + mSY2            n+m
ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé ïðè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû åñòü ðàñïðå-
äåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
   Êàê è â ñëó÷àå îäíîâûáîðî÷íîãî êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà â 30 íåòðóäíî
ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ C è σ ôóíêöèÿ ìîùíîñòè äâóõ-
âûáîðî÷íîãî êðèòåðèÿ Ñòüþäåíòà Tn,m > C åñòü ìîíîòîííî
                                                    √        âîçðàñòàþùàÿ
ôóíêöèÿ ïàðàìåòðà íåöåíòðàëüíîñòè ∆ = (µ1 − µ2 ) n + m − 2/σ, òàê ÷òî
êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè
èç óðàâíåíèÿ P (Tn,m > C) = 1 − Sn+m−2 (C) = α è ðàâíà êâàíòèëè ðàñïðå-
                               −1
äåëåíèÿ Ñòüþäåíòà: C(α) = Sn+m−2    (1 − α). Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè àëüòåðíàòèâå
                                               −1
H1 : µ1 6= µ2 êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C(α) = Sn+m−2   (1 − α/2).
   Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî êðèòåðèÿ ñëåäóåò îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå
íà ïðåäïîëîæåíèå î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé íàáëþäàåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-
      2
÷èí: σX  = σY2 . Çàäà÷à ñðàâíåíèÿ ñðåäíèõ äâóõ íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé
ñ íåðàâíûìè äèñïåðñèÿìè è ñ ãàðàíòèðîâàííûì îãðàíè÷åíèåì α íà âå-
ðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé ÁåðåíñàÔèøåðà.
Èçâåñòíî ëèøü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ïðè áîëüøèõ n è
m.

                                   236

Страницы