Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p > p
0
p 6= p
0
X
(n)
B(1, p),
X p
p = p
0
p < p
0
, X −p
0
< C. T = nX =
X
n
1
X
k
B(n, p), p
0
T < C. T
0, 1, . . . , n,
T < C, C
1, 2, . . . , n
m(p) = P
p
(T < C) =
C−1
X
k=0
p
k
(1 − p)
n−k
,
C
α
m(p
0
) =
C−1
X
k=0
p
k
0
(1 − p
0
)
n−k
≤ α. (2)
C,
C(α)
C(α) α,
α, α
α p
0
(1 −p
0
)
n
> α, C,
α
00
.
ïðåäïèñûâàåò ýòîé âåðîÿòíîñòè ìåíüøåå çíà÷åíèå. Ïðåäëàãàåìûé íèæå ìå-
òîä ðåøåíèÿ ïîçâîëÿåò ñòðîèòü êðèòåðèè ïðîâåðêè òàêîé ãèïîòåçû ïðè àëü-
òåðíàòèâàõ p > p0 èëè p 6= p0 ïîñðåäñòâîì ïðîñòîé çàìåíû íåðàâåíñòâà,
îïðåäåëÿþùåãî êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü, íà îáðàòíîå èëè äâóñòîðîííåå.
    Èòàê, åñëè ìû ðàñïîëàãàåì âûáîðêîé X (n) èç äâóõòî÷å÷íîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ B(1, p), òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåøíûõ èñïûòàíèé (âûáîðî÷íîå
ñðåäíåå) X ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé p ñ ìèíèìàëüíîé äèñïåðñèåé. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåííîé âûøå èäåîëîãèåé ïðîâåðêè ãèïîòåç ñ ïîìî-
ùüþ îöåíîê òåñòèðóåìîãî ïàðàìåòðà ìû äîëæíû îòâåðãàòü ãèïîòåçóX      p = p0
                                                                       n
â ïîëüçó p < p0 , åñëè X − p0 < C. Ïîñêîëüêó ñòàòèñòèêà T = nX =         Xk
                                                                       1
èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå B(n, p), à çíà÷åíèå p0 çàäàíî, òî äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ìîùíîñòè óäîáíåå çàïèñàòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü â
âèäå T < C. Íî ñòàòèñòèêà T ïðèíèìàåò òîëüêî öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ
0, 1, . . . , n, ïîýòîìó áåññìûñëåííî ðàññìàòðèâàòü äðîáíûå çíà÷åíèÿ êðèòè-
÷åñêèõ êîíñòàíò. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê íàèáîëåå óäîáíîé ôîðìå
çàïèñè êðèòè÷åñêîé îáëàñòè â âèäå T < C, ãäå C ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
1, 2, . . . , n
    Ôóíêöèÿ ìîùíîñòè òàêîãî êðèòåðèÿ
                                             C−1
                                             X
                  m(p) = Pp (T < C) =              pk (1 − p)n−k ,
                                             k=0

è ïîñêîëüêó ïðîâåðÿåòñÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà, òî êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C
äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α èç íåðàâåíñòâà
                                C−1
                                X
                     m(p0 ) =         p0k (1 − p0 ) n−k ≤ α.            (2)
                                k=0

Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åì áîëüøå C, òåì áîëüøå ìîùíîñòü êðèòåðèÿ, è ïîýòî-
ìó C(α) ñëåäóåò âûáèðàòü êàê íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå
íåðàâåíñòâó (2). Ðàçìåð êðèòåðèÿ ñ òàêèì C(α) íå îáÿçàòåëüíî ðàâåí α,
òàê ÷òî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü êðèòåðèé óðîâíÿ α, íî íå ðàçìåðà α (â ïðå-
äûäóùèõ ïðèìåðàõ ñ òåñòîâûìè ñòàòèñòèêàìè, èìåþùèìè ðàñïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîãî òèïà, ìû èìåëè êðèòåðèè ðàçìåðà α). Áîëåå òîãî, åñëè p0
íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî (1 − p0 )n > α, òî íå ñóùåñòâóåò òàêèõ C, ïðè êîòîðûõ
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (2).  òàêîì ñëó÷àå ìû äîëæíû ïðèíèìàòü íóëå-
âóþ ãèïîòåçó ïðè ëþáîì ðåçóëüòàòå ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà, îáåñïå-
÷èâàÿ òåì ñàìûì íóëåâîé ðàçìåð òàêîãî êðèòåðèÿ óðîâíÿ α00 .

                                       238

Страницы