Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
n → ∞ α. T
np np(1 −p),
Φ
Ã
C − np
0
p
np
0
(1 − p
0
)
!
≤ α,
C(α) ≈ np
0
− Φ
−1
(1 − α)/
p
np
0
(1 − p
0
).
α
5
0
α
A(θ
0
) ⊂ X
n
α, H
0
: θ = θ
0
, A(θ
0
)
θ
0
∈ Θ. x
(n)
X
(n)
∆(x
(n)
)
Θ, ∆(x
(n)
) = {θ : x
(n)
∈ A(θ)}. ∆(X
(n)
) (1 − α)
θ, P
θ
¡
∆(X
(n)
) 3 θ
¢
=
P
θ
¡
X
(n)
∈ A(θ)
¢
≥ 1 − α.
µ = µ
0
(µ, σ
2
) σ
2
   Ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè n ìîæíî èñïîëüçîâàòü íîðìàëüíûå àï-
ïðîêñèìàöèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷àÿ òàêèì îáðàçîì êðè-
òåðèé, ðàçìåð êîòîðîãî àñèìïòîòè÷åñêè (n → ∞) ðàâåí α. Ñòàòèñòèêà T
àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñî ñðåäíèì np è äèñïåðñèåé np(1 − p), ïîýòîìó
íåðàâåíñòâî (2) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòû èìååò àñèìïòî-
òè÷åñêèé àíàëîã          à             !
                                C − np0
                        Φ   p                ≤ α,
                               np0 (1 − p0 )
                                    p
îòêóäà C(α) ≈ np0 − Φ−1 (1 − α)/ np0 (1 − p0 ). Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî òàêîé
ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèåâ àñèìïòîòè÷åñêîãî óðîâíÿ α ïðèìåíèì äëÿ ëþ-
áîé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè, â çàäàíèè êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè
íîðìàëüíàÿ îöåíêà òåñòèðóåìîãî ïàðàìåòðà (ñì. ïîÿñíåíèÿ â ïðåäûäóùåì
ïàðàãðàôå ïåðåä ïóíêòîì 50 ).
   Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé çàäà÷à
ïîñòðîåíèÿ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿ-
åòñÿ, ïîñêîëüêó îäèí èç äâóõ êðèòåðèåâ îäíîãî è òîãî æå óðîâíÿ α ìîæåò
èìåòü áîëüøóþ ìîùíîñòü òîëüêî ïîòîìó, ÷òî îí èìååò áîëüøèé ðàçìåð.
Ìû ñòîëêíåìñÿ ñ ýòîé ïðîáëåìîé â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, íî ñëåäóåò çà-
ìåòèòü, ÷òî ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ íàèáîëåå ìîùíûõ êðèòåðèåâ îáõîäèò ýòîò
íåïðèÿòíûé ìîìåíò çà ñ÷åò ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðàâè-
ëà, ââîäÿ òàê íàçûâàåìûå ðàíäîìèçèðîâàííûå êðèòåðèè. Ê ñîæàëåíèþ, ÿ
íå ðàñïîëàãàþ âðåìåíåì ïîçíàêîìèòü âàñ ñ ýòèì çàìå÷àòåëüíûì îáúåêòîì
òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà.
   Ìû çàêîí÷èì ýòîò ïàðàãðàô, êàê è áûëî îáåùàíî, ôîðìóëèðîâêîé ïðèí-
öèïà äâîéñòâåííîñòè ìåæäó çàäà÷àìè ïðîâåðêè ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíî-
ãî îöåíèâàíèÿ. Ïóñòü A(θ0 ) ⊂ Xn  îáëàñòü ïðèíÿòèÿ íåêîòîðîãî êðèòåðèÿ
óðîâíÿ α, òåñòèðóþùåãî ãèïîòåçó H0 : θ = θ0 , è ïóñòü A(θ0 ) îïðåäåëåíà
ïðè ëþáîì θ0 ∈ Θ. Äëÿ êàæäîãî ðåçóëüòàòà x(n) íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âû-
áîðêè X (n) ââåäåì ïîäìíîæåñòâî ∆(x(n) ) ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà
Θ, ïîëîæèâ ∆(x(n) ) = {θ : x(n) ∈ A(θ)}. Òîãäà ∆(X (n)¡) åñòü (1 − ¢α)-
äîâåðèòåëüíîå
   ¡ (n)       ìíîæåñòâî
               ¢          äëÿ ïàðàìåòðà θ, ïîñêîëüêó Pθ ∆(X (n) ) 3 θ =
Pθ X ∈ A(θ) ≥ 1 − α.
   Íàïðèìåð, êðèòåðèé Ñòüþäåíòà ïðîâåðêè ãèïîòåçû µ = µ0 î ñðåäíåì
çíà÷åíèè íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2




                                   239

Страницы