Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α,
θ
P
0
P
1
, X f
0
(
x
)
f
1
(x), x ∈ X. X
(n)
H
0
:
P
0
H
1
:
P
1
. ϕ
∗
(X
(n)
)
L(X
(n)
) =
n
Y
k=1
f
1
(X
k
)
f
0
(X
k
)
> C.
L
ϕ
∗
ϕ
∗
f
1,n
(X
(n)
) =
Y
n
1
f
1
(X
k
) C
f
0,n
(X
(n)
) =
Y
n
1
f
0
(X
k
).
ϕ
∗
ϕ
∗
. ϕ
∗
α,
α.
ϕ = ϕ(X
(n)
)
E
0
ϕ(X
(n)
) ≤ E
0
ϕ
∗
(X
(n)
). (1)
ϕ
∗
ϕ, E
1
ϕ
∗
(X
(n)
) ≥ E
1
ϕ(X
(n)
).
             Ÿ8. Ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûå êðèòåðèè

                                                                            Ëåêöèÿ 13

    Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèåâ çàäàííîãî óðîâíÿ α, êîòîðûé ðàâíîìåðíî
ïî âñåì àëüòåðíàòèâíûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà θ ìàêñèìèçèðóåò ìîùíîñòü
êðèòåðèÿ, ñóùåñòâåííî îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùåå, ïî÷òè î÷åâèäíîå óòâåð-
æäåíèå, êîòîðîå â òåîðèè ïðîâåðêè ãèïîòåç îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ëåììîé
ÍåéìàíàÏèðñîíà.
    Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü, ñîñòîÿùóþ âñåãî èç äâóõ ðàñïðå-
äåëåíèé P0 è P1 , ñ îáùèì íîñèòåëåì X è ôóíêöèÿìè ïëîòíîñòè f0 (x) è
f1 (x), x ∈ X. Ïî âûáîðêå X (n) ïðîâåðÿåòñÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà H0 : âûáîðêà
âçÿòà èç ðàñïðåäåëåíèÿ P0 ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå H1 : âûáîðêå ñîîòâåò-
ñòâóåò ðàñïðåäåëåíèå P1 . Îïðåäåëèì êðèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ϕ∗ (X (n) ) êàê
èíäèêàòîðíóþ ôóíêöèþ êðèòè÷åñêîé îáëàñòè
                                          n
                                          Y
                               (n)          f1 (Xk )
                         L(X         )=                    > C.
                                                f0 (Xk )
                                          k=1

Ñòàòèñòèêà L íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ, à êðè-
òåðèé ϕ∗  êðèòåðèåì îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èëè êðèòåðèåì Íåéìàíà
Ïèðñîíà. Êðèòåðèé ϕ∗ îòâåðãàåò
                             Y n íóëåâóþ ãèïîòåçó, åñëè ïðàâäîïîäîáèå
àëüòåðíàòèâû f1,n (X (n) ) =    f1 (Xk ) â C ðàç ïðåâîñõîäèò ïðàâäîïîäî-
                                  1         Yn
                                (n)
áèå íóëåâîé ãèïîòåçû f0,n (X ) =                      f0 (Xk ). Ýòîò êðèòåðèé îáëàäàåò
                                                  1
ñëåäóþùèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì.

   Òåîðåìà 8.1.Êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ϕ∗ ÿâëÿåòñÿ íàèáî-
ëåå ìîùíûì êðèòåðèåì â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïî-
òåçû ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå, ðàçìåð êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò ðàçìåðà
êðèòåðèÿ ϕ∗ . Åñëè êðèòåðèé ϕ∗ èìååò ðàçìåð α, òî îí îáëàäàåò íàèáîëüøåé
ìîùíîñòüþ â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ óðîâíÿ α.
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.. Ïóñòü ϕ = ϕ(X (n) )  ëþáîé äðóãîé êðèòåðèé, ðàç-
ìåð êîòîðîãî
                          E 0 ϕ(X (n) ) ≤ E 0 ϕ∗ (X (n) ).                         (1)
Òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî òîãäà êðèòåðèé ϕ∗ èìååò áîëüøóþ ìîùíîñòü, ÷åì
êðèòåðèé ϕ, òî åñòü E 1 ϕ∗ (X (n) ) ≥ E 1 ϕ(X (n) ).


                                           241

Страницы