Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X H(t)
t : H(t) = P (X ≥ t) = 1 − F (t).
X
F (x |θ) = 1 −exp{−x/θ}, θ
H(t) ≥ P
0
, P
0
t.
H
0
.
H
0
,
t
H
0
: H(t) < P
0
H
1
: H(t) ≥ P
0
, H(t) = exp{−t/θ}.
θ H
0
:
θ < θ
0
= −t/ ln α. θ
1
>
θ
0
, H
0
0
: θ = θ
0
H
0
1
: θ = θ
1
.
L(X
(n)
) =
n
Y
k=1
f
1
(X
k
)
f
0
(X
k
)
=
θ
0
θ
1
exp
½µ
1
θ
0
−
1
θ
1
X
n
1
X
k
¾
> C ,
âåëè÷èíû X ìîæíî ðàññ÷èòàòü íàäåæíîñòü H(t) èçäåëèé, ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ ãàðàíòèéíîìó âðåìåíè t : H(t) = P (X ≥ t) = 1 − F (t).
    Ïóñòü äîëãîâå÷íîñòü X ðàñïðåäåëåíà ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ôóíê-
öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x | θ) = 1 − exp{−x/θ}, çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ êîòî-
ðîé íå èçâåñòíî. Ìû äîëæíû óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî íàäåæíîñòü âûïóñêàå-
ìûõ èçäåëèé äîñòàòî÷íî âûñîêà: H(t) ≥ P0 , ãäå P0 íàèìåíüøàÿ äîïóñòè-
ìàÿ äîëÿ èçäåëèé, êîòîðûå äîëæíû ïðîñëóæèòü ãàðàíòèéíûé ñðîê t.
    Ýòî òèïè÷íàÿ çàäà÷à ïðîâåðêè ãèïîòåç, ðåøåíèå êîòîðîé íà÷èíàåòñÿ ñ
îïðåäåëåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû H0 . Ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî â ñòà-
òèñòè÷åñêîì êðèòåðèè êîíòðîëèðóåòñÿ âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ H0 , êîãäà
îíà â äåéñòâèòåëüíîñòè âåðíà. Â íàøåé êîíêðåòíîé ïðîáëåìå ñïåöèôèêà-
öèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû âî ìíîãîì çàâèñèò îò òîãî, ÷òî ïîâëå÷åò çà ñîáîé
îòêàç èçäåëèÿ. Åñëè ìû âûïóñêàåì áûòîâûå ïðèáîðû, òî îòêàç èçäåëèÿ
äî ãàðàíòèéíîãî ñêðîêà t ïîâëå÷åò èçäåðæêè íà ðåìîíò, êîòîðûå ìîãóò
áûòü íåçíà÷èòåëüíûìè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòîèìîñòüþ èçäåëèÿ.  òàêîì ñëó-
÷àå åñòåñòâåííî âûáðàòü â êà÷åñòâå íóëåâîé ãèïîòåçû óòâåðæäåíèå î íà-
äåæíîñòè èçäåëèé  îòêëîíèâ ýòó ãèïîòåçó, êîãäà îíà âåðíà, ìû ïîòåðÿåì
äîðîãîñòîÿùóþ ïðîäóêöèþ, ðåìîíò êîòîðîé íàì îáîøåëñÿ áû çíà÷èòåëü-
íî äåøåâëå, ÷åì åå óíè÷òîæåíèå èëè ïðîäàæà ïî áðîñîâîé öåíå. Åñëè æå
îòêàç èçäåëèÿ ïðèâîäèò ê êàòàñòðîôè÷åñêèì ïîñëåäñòâèÿì, íàïðèìåð, ê
ãèáåëè ëþäåé, òî çäåñü ðàññóæäàòü íå÷åãî, è çà íóëåâóþ ãèïîòåçó ñëåäó-
åò áðàòü óòâåðæäåíèå î íåíàäåæíîñòè . Îòêëîíèâ òàêóþ ãèïîòåçó, êî-
ãäà îíà â äåéñòâèòåëüíîñòè âåðíà, ìû ñòîëêíåìñÿ ñ íåïðèåìëåìî áîëüøîé
äîëåé îòêàçîâ äî èñòå÷åíèÿ ãàðàíòèéíîãî ñðîêà, è ïîýòîìó ðèñê îò ïðè-
íÿòèÿ ïëîõèõ èçäåëèé äîëæåí áûòü êîíòðîëèðóåì. Îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì
âàðèàíòå è ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíîãî êðèòå-
ðèÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû íåíàäåæíîñòè H0 : H(t) < P0 ïðè àëüòåðíàòèâå
H1 : H(t) ≥ P0 , êîãäà H(t) = exp{−t/θ}.
     òåðìèíàõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà θ íóëåâàÿ ãèïîòåçà ïðèíèìàåò âèä H0 :
θ < θ0 = −t/ ln α. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèå θ1 >
θ0 , è ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû H00 : θ = θ0 ïðè
ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå H10 : θ = θ1 . Íàèáîëåå ìîùíûé êðèòåðèé ïðîâåðêè
ïðîñòîé ãèïîòåçû ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå èìååò êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü
âèäà (ñì. òåîðåìó 8.1)
                     n
                     Y                     ½µ           ¶X            ¾
                       f1 (Xk )     θ0          1   1        n
       L(X (n) ) =                 = exp          −              Xk       > C,
                           f0 (Xk ) θ1          θ0 θ1        1
                     k=1


                                      243

Страницы