Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α.
1 − α.
L(X
(n)
)
T
n
=
X
n
1
X
k
.
T, L(X
(n)
) =
g
θ
1
(T )/g
θ
0
(T ) X
(n)
T (X
(n)
).
T
T > C T < C.
X
n
1
X
k
> C C
α
α θ < θ
0
θ ≥ θ
0
,
θ
θ
ϕ
∗
X
n
1
X
k
> C
ϕ
∗
.
α
T (X
(n)
) >
C(α), T
êðèòåðèåâ óðîâíÿ α. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîìåíÿòü ìåñòàìè íóëåâóþ ãè-
ïîòåçó è àëüòåðíàòèâó è âûáðàòü óðîâåíü çíà÷èìîñòè, ðàâíûé 1 − α.

    Â ýòîì ïðèìåðå ïîñòðîåíèå ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíîãî êðèòåðèÿ
ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ îñîáîìó ñâîéñòâó ñòàòèñòè÷åñêîé ñòðóêòóðû
ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: ñòàòèñòèêà L(X (n) ) îòíîøåíèÿ       Xn       ïðàâäî-
ïîäîáèÿ åñòü ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ñòàòèñòèêè Tn =                         Xk . Ýòî 
                                                                      1
÷àñòíûé ñëó÷àé ñòàòèñòè÷åñêèõ ñòðóêòóð, îáëàäàþùèõ äîñòàòî÷íîé ñòàòè-
ñòèêîé T, èáî â ñèëó òåîðåìû ôàêòîðèçàöèè ó òàêèõ ñòðóêòóð L(X (n) ) =
gθ1 (T )/gθ0 (T ) çàâèñèò îò X (n) òîëüêî ÷åðåç çíà÷åíèÿ T (X (n) ). Äîïîëíèòåëü-
íîå ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ îòíîñèòåëüíî T îáåñ-
ïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå è âîçìîæíîñòü êîíñòðóêòèâíîãî ïîñòðîåíèÿ ðàâ-
íîìåðíî íàèáîëåå ìîùíîãî êðèòåðèÿ, ïðè÷åì êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü òàêîãî
êðèòåðèÿ
Xn           îáÿçàòåëüíî èìååò âèä T > C èëè T < C. Íàïðèìåð, êðèòåðèé
       Xk > C ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå C ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷è-
     1
ìîñòè α áóäåò ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèåì â êëàññå âñåõ êðè-
òåðèåâ óðîâíÿ α ïðîâåðêè ãèïîòåçû θ < θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå θ ≥ θ0 , êîãäà
θ åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (äèñïåðñèÿ ïðåäïîëà-
ãàåòñÿ èçâåñòíîé) èëè ïàðàìåòð ìàñøòàáà ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ (ïàðàìåòð
ôîðìû èçâåñòåí). Íî åñëè θ  ïàðàìåòð òàêèõ ðàñïðåäåëåíèé,X           êàê äâóõòî-
                                                                         n
÷å÷íîå èëè Ïóàññîíà, òî êðèòåðèé ϕ∗ ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ                 Xk > C
                                                                         1
îáëàäàåò ðàâíîìåðíî íàèáîëüøåé ìîùíîñòüþ òîëüêî â êëàññå òåõ êðèòå-
ðèåâ, ðàçìåð êîòîðûõ íå áîëüøå ðàçìåðà ϕ∗ .
    Äðóãèå êðèòåðèè, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðà-
ôå, òàêæå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ðàâíîìåðíîé íàèáîëüøåé ìîùíîñòè, è ïðè
äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî òàêæå èñïîëüçóåòñÿ ëåììà ÍåéìàíàÏèðñîíà, íî ìå-
òîäèêà äîêàçàòåëüñòâà ñîâåðøåííî äðóãàÿ è òðåáóåò ðàçðàáîòêè ìåòîäîâ
ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèåâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè  íåçàâè-
ñèìîñòè îò ìåøàþùèõ ïàðàìåòðîâ. Íî ýòî óæå ñîâñåì äðóãàÿ îáëàñòü òå-
îðèè ïðîâåðêè ãèïîòåç, ïîãîâîðèòü î êîòîðîé ó íàñ íå õâàòàåò âðåìåíè. ß
ëó÷øå ðàññêàæó âàì î íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óõèùðåíèÿõ â ïðàêòè-
÷åñêèõ ïðèìåíåíèÿõ ñòàòèñòè÷åñêèõ êðèòåðèåâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñ áîëü-
øåé ñòåïåíüþ íàãëÿäíîñòè îöåíèòü ñòåïåíü ñîãëàñèÿ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû
ñ âûáîðî÷íûìè äàííûìè.
    Âñå ðàññìàòðèâàåìûå íàìè êðèòåðèè çàäàííîãî óðîâíÿ α îáëàäàþò òåì
ñâîéñòâîì, ÷òî èõ êðèòè÷åñêèå îáëàñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå T (X (n) ) >
C(α), ãäå T  íåêîòîðàÿ ñòàòèñòèêà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ðàñõîæäåíèå âû-

                                       245

Страницы