Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 244 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
α P
θ
0
¡
L(X
(n)
) > C
¢
≤ α. T
n
=
X
n
1
X
k
G(n, θ
0
), C
L(X
(n)
)
T
n
, L(X
(n)
) > C
T
n
> C C P
θ
0
(T
n
>
C) = 1 − G
n
(C/θ
0
) = α C
T
n
> C
C(α) = θ
0
·G
−1
n
(1 −α), G
−1
n
(·)
G(n, 1), ϕ
∗
(X
(n)
) = I
{T
n
>C(α)}
(X
(n)
)
α α,
H
0
0
H
0
1
.
ϕ E
θ
0
ϕ(X
(n)
) ≤ α
E
θ
1
ϕ(X
(n)
) ≤ E
θ
1
ϕ
∗
(X
(n)
). (2)
ϕ
∗
θ
1
θ C(α) = θ
0
· G
−1
n
(1 − α)
θ
1
> θ
0
,
ϕ
∗
α,
H
0
0
: θ = θ
0
H
1
: θ > θ
0
.
ϕ
∗
,
H
0
: θ < θ
0
H
1
: θ ≥ θ
0
, m(θ) =
E
θ
ϕ
∗
(X
(n)
) = P
θ
(T
n
> C(α)) = 1 − G
n
(G
−1
n
(1 − α)θ
0
/θ), θ > 0.
θ,
m(θ
0
) = 1 − G
n
¡
G
−1
n
(1 − α)
¢
= α.
ϕ
∗
α
H
0
H
1
,
ϕ E
θ
0
ϕ(X
(n)
) = α.
α, ϕ,
E
θ
ϕ(X
(n)
) ≤ α θ < θ
0
.
ϕ
∗
α(θ) = m(θ), θ ≤ θ
0
ãäå êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà   îïðåäåëÿåòñÿ
                       ¡ C (n)    ¢      ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷è-
ìîñòè α èç óñëîâèÿ P θ0 L(X ) > C ≤ α. Ïîñêîëüêó ñòàòèñòèêà Tn =
Xn
    Xk èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå G(n, θ0 ), òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ C â ïî-
   1
ñëåäíåì íåðàâåíñòâå ñëåäóåò ïîëîæèòü çíàê ðàâåíñòâà. Êðîìå ýòîãî, ñòà-
òèñòèêà îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ L(X (n) ) åñòü ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ ñòà-
òèñòèêè Tn , ïîýòîìó êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü L(X (n) ) > C ìîæíî çàïèñàòü â
ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå Tn > C è íàõîäèòü íîâîå C èç ðàâåíñòâà P θ0 (Tn >
C) = 1 − Gn (C/θ0 ) = α (ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, íàì âñå ðàâíî, êàêîå C îïðå-
äåëÿòü, íî íà ïðàêòèêå, âíå ñîìíåíèÿ, óäîáíåå èìåòü äåëî ñ êðèòè÷åñêîé
îáëàñòüþ Tn > C ).
   Èòàê, C(α) = θ0 · G−1              −1
                      n (1 − α), ãäå Gn (·)  êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî ãàììà-
ðàñïðåäåëåíèÿ G(n, 1), è êðèòåðèé ϕ∗ (X (n) ) = I{Tn >C(α)} (X (n) ) çàäàííîãî
ðàçìåðà α ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ óðîâíÿ α,
ïðîâåðÿþùèõ ãèïîòåçó H00 ïðè àëüòåðíàòèâå H10 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ
ëþáîãî äðóãîãî êðèòåðèÿ ϕ ñ E θ0 ϕ(X (n) ) ≤ α âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

                        E θ1 ϕ(X (n) ) ≤ E θ1 ϕ∗ (X (n) ).                 (2)

   Íî êðèòåðèé ϕ∗ íå çàâèñèò îò âûáîðà àëüòåðíàòèâíîãî çíà÷åíèÿ θ1 ïà-
ðàìåòðà θ  êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C(α) = θ0 · G−1  n (1 − α)! Ñëåäîâàòåëü-
íî, íåðàâåíñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáûõ θ1 > θ0 , è ìû ïðèõîäèì ê
çàêëþ÷åíèþ, ÷òî êðèòåðèé ϕ∗ åñòü ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûé êðèòå-
ðèé â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ óðîâíÿ α, ïðîâåðÿþùèõ ïðîñòóþ ãèïîòåçó
H00 : θ = θ0 ïðè ñëîæíîé àëüòåðíàòèâå H1 : θ > θ0 .
   Äàëåå, ôóíêöèÿ ìîùíîñòè êðèòåðèÿ ϕ∗ , êàê êðèòåðèÿ ðàçëè÷åíèÿ èñ-
õîäíûõ ñëîæíûõ ãèïîòåç H0 : θ < θ0 è H1 : θ ≥ θ0 , ðàâíà m(θ) =
E θ ϕ∗ (X (n) ) = P θ (Tn > C(α)) = 1 − Gn (G−1
                                             n (1 − α)θ0 /θ), θ > 0. Ýòî 
âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ θ, ïîýòîìó ìàêñèìóì âåðîÿòíîñòè¡ −1     îøèáêè
                                                                ¢   ïåðâî-
ãî ðîäà (ðàçìåð êðèòåðèÿ) ðàâåí m(θ0 ) = 1 − Gn Gn (1 − α) = α. Òà-
êèì îáðàçîì, êðèòåðèé ϕ∗ åñòü êðèòåðèé ðàçìåðà α ïðîâåðêè ãèïîòåçû
H0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 , îáëàäàþùèé ðàâíîìåðíî íàèáîëüøåé ìîùíî-
ñòüþ â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ ϕ ñ îãðàíè÷åíèåì E θ0 ϕ(X (n) ) = α. Íî â òà-
êîì ñëó÷àå îí áóäåò ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì è â áîëåå óçêîì êëàññå
êðèòåðèåâ óðîâíÿ α, òî åñòü êðèòåðèåâ ϕ, óäîâëåòâîðÿþùèõ îãðàíè÷åíèþ
E θ ϕ(X (n) ) ≤ α ïðè ëþáîì θ < θ0 .
   Áîëåå òîãî, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êðèòåðèé ϕ∗ îáëàäàåò ìèíèìàëü-
íîé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α(θ) = m(θ), θ ≤ θ0 â êëàññå âñåõ


                                       244

Страницы