Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 246 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α C(α),
α, C(α)
t = T (x
(n)
) T = T (X
(n)
).
x
(n)
,
t = T (x
(n)
) T (X
(n)
) > t.
α = P
0
¡
T (X
(n)
) > t
¢
x
(n)
.
α α < α,
α ≤ 0.01,
0.01 < α ≤ 0.05,
0.05 < α ≤ 0.10 α > 0.10
α
α ,
θ
n
= θ
n
(X
(n)
).
(1−α) θ
n
θ θ
0
,
θ
0
> θ, P
θ
(θ
n
(X
(n)
) ≥
θ
0
).
áîðî÷íûõ äàííûõ ñ ïðåäïîëàãàåìûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà. Óâåëè÷åíèå
óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ C(α), è ìû ïîëó÷àåì ñè-
ñòåìó âëîæåííûõ äðóã â äðóãà êðèòè÷åñêèõ îáëàñòåé. Ýòî çàìå÷àòåëüíîå
ñâîéñòâî íàøèõ êðèòåðèåâ ïîçâîëÿåò íåñêîëüêî èçìåíèòü ìåòîäîëîãèþ èõ
ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. Äî ñèõ ïîð ìû ôèêñèðîâàëè óðîâåíü çíà÷è-
ìîñòè α, íàõîäèëè ïî íåìó êðèòè÷åñêóþ êîíñòàíòó C(α) è ñðàâíèâàëè åå
ñ âûáîðî÷íûì çíà÷åíèåì t = T (x(n) ) ñòàòèñòèêè T = T (X (n) ). Ïîñòóïèì
òåïåðü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëó÷èâ âûáîðî÷íûå äàííûå x(n) , âû÷èñëèì
çíà÷åíèå t = T (x(n) )¡ è ðàññìîòðèì
                                  ¢  êðèòåðèé T (X (n) ) > t. Ðàçìåð òàêîãî
êðèòåðèÿ αêð. = P0 T (X (n) ) > t íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì óðîâíåì çíà-
÷èìîñòè, êîòîðûé òðàêòóåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ñòîëü æå áîëüøèå
ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó âûáîðî÷íûìè äàííûìè è íóëåâîé ãèïîòåçîé, êàê è äëÿ
âûáîðî÷íûõ äàííûõ x(n) .
   Åñòåñòâåííî, ìû ïî-ïðåæíåìó ìîæåì ðàáîòàòü ñ çàäàííûì óðîâíåì çíà-
÷èìîñòè α, îòêëîíÿÿ íóëåâóþ ãèïîòåçó, åñëè αêð. < α, è ïðèíèìàÿ åå
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êñòàòè, ïðèíèìàÿ ãèïîòåçó, íå ñëåäóåò óòâåðæäàòü,
÷òî îíà âåðíà. Íà ýòîò ñ÷åò ñóùåñòâóåò áîëåå äåëèêàòíîå âûðàæåíèå: âû-
áîðî÷íûå äàííûå ñîãëàñóþòñÿ ñ âûäâèíóòîé ãèïîòåçîé, èáî, êàê ãîâîðèë
îäèí èç ñîçäàòåëåé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñýð Ä.Ôèøåð, ãèïîòåçû íå
ïðîâåðÿþòñÿ, à ðàçâå ëèøü îòâåðãàþòñÿ . Òàê âîò, â ñâåòå ýòîãî âûñêàçû-
âàíèÿ áîëåå ðàçóìíî ïðîñòî ñîîáùàòü ïîëó÷åííûé êðèòè÷åñêèé óðîâåíü
çíà÷èìîñòè, ñîïðîâîæäàÿ åãî ñëåäóþùèì êîììåíòàðèåì, êîòîðûé ìîæíî
ñ÷èòàòü ìåæäóíàðîäíûì ñòàòèñòè÷åñêèì ñòàíäàðòîì. Åñëè αêð. ≤ 0.01,
òî ãîâîðÿò, ÷òî ðàñõîæäåíèå ìåæäó ãèïîòåçîé è âûáîðî÷íûìè äàííûìè
âûñîêî çíà÷èìî, åñëè 0.01 < αêð. ≤ 0.05, òî ïðîñòî  çíà÷èìî, åñëè æå
0.05 < αêð. ≤ 0.10  ïî÷òè çíà÷èìî, è â ñëó÷àå αêð. > 0.10  íå çíà÷èìî.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â íåêîòîðûõ ïðèìåíåíèÿõ êðèòåðèåâ çíà÷èìîñòè (îñî-
áåííî, â ìåäèöèíå) αêð. íàçûâàþò äîñòîâåðíîñòüþ. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå,
ñîâåðøåííî ôàíòàñòè÷åñêèå íàçâàíèÿ αêð. , êîòîðûå ÿ íå áóäó çäåñü ïðè-
âîäèòü â ñèëó èõ êðàéíå íåïðèëè÷íîãî çâó÷àíèÿ.
   Ïîãîâîðèì òåïåðü îá îïòèìàëüíûõ ñâîéñòâàõ äîâåðèòåëüíûõ ãðàíèö,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûì êðèòåðèÿì. Ðàññìîòðèì
òîëüêî ñëó÷àé âåðõíåé äîâåðèòåëüíîé ãðàíèöû θn = θn (X (n) ).
    Îïðåäåëåíèå 8.1 Âåðõíÿÿ (1−α)-äîâåðèòåëüíàÿ ãðàíèöà θn íàçûâàåò-
ñÿ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå òî÷íîé, åñëè îíà ðàâíîìåðíî ïî âñåì θ è θ0 , óäîâëå-
òâîðÿþùèì íåðàâåíñòâó θ0 > θ, ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü P θ (θn (X (n) ) ≥
θ0 ).

                                    246

Страницы