Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
X
n
h
ϕ
∗
(x
(n)
) − ϕ(x
(n)
)
ih
f
1,n
(x
(n)
) − Cf
0,n
(x
(n)
)
i
dµ
n
(x
(n)
) =
E
1
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
1
ϕ(X
(n)
) − C
h
E
0
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
0
ϕ(X
(n)
)
i
.
E
1
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
1
ϕ(X
(n)
) − C
h
E
0
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
0
ϕ(X
(n)
)
i
≥ 0
E
1
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
1
ϕ(X
(n)
) ≥ C
h
E
0
ϕ
∗
(X
(n)
) − E
0
ϕ(X
(n)
)
i
≥ 0.
ϕ
∗
(x
(n)
)−ϕ(x
(n)
) f
1,n
(x
(n)
)−Cf
0,n
(x
(n)
),
x
(n)
∈ X
n
. ϕ
∗
(x
(n)
) −ϕ(x
(n)
) > 0,
ϕ
∗
(x
(n)
) = 1,
ϕ
∗
(x
(n)
) = 1 f
1,n
(x
(n)
) −
Cf
0,n
(x
(n)
) > 0. ϕ
∗
(x
(n)
) −
ϕ(x
(n)
) < 0 f
1,n
(x
(n)
) − Cf
0,n
(x
(n)
) < 0.
ϕ
∗
ϕ
∗
. E
0
ϕ
∗
(X
(n)
) = α,
α.
X, x
F (x), x ≥ 0
   Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
        Z h                                    ih                                   i
                     ∗     (n)          (n)
                    ϕ (x ) − ϕ(x )                  f1,n (x ) − Cf0,n (x ) dµn (x(n) ) =
                                                            (n)               (n)

       Xn
                                           h                               i
        E 1 ϕ∗ (X (n) ) − E 1 ϕ(X (n) ) − C E 0 ϕ∗ (X (n) ) − E 0 ϕ(X (n) ) .
Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò èíòåãðàë íåîòðèöàòåëåí, è òîãäà ïåðâîå
óòâåðæäåíèå òåîðåìû áóäåò ñëåäîâàòü èç íåðàâåíñòâà:
                                                        h                                           i
                ∗        (n)                 (n)                  ∗   (n)                 (n)
      E 1 ϕ (X                 ) − E 1 ϕ(X         ) − C E 0 ϕ (X           ) − E 0 ϕ(X         )       ≥ 0

êîòîðîå âëå÷åò (ñì. (1))
                                                        h                                           i
            ∗        (n)                 (n)                      ∗   (n)                 (n)
     E 1 ϕ (X              ) − E 1 ϕ(X         ) ≥ C E 0 ϕ (X               ) − E 0 ϕ(X         )       ≥ 0.

   Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèè ϕ∗ (x(n) ) − ϕ(x(n) ) è f1,n (x(n) ) − Cf0,n (x(n) ), ïðîèç-
âåäåíèå êîòîðûõ èíòåãðèðóåòñÿ, îäíîâðåìåííî ïîëîæèòåëüíû èëè îòðèöà-
òåëüíû ïðè ëþáûõ x(n) ∈ Xn . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕ∗ (x(n) ) −ϕ(x(n) ) > 0, òî
ýòî âëå÷åò ϕ∗ (x(n) ) = 1, ïîñêîëüêó êðèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà åäèíèöå,
åñëè îíà íå ðàâíà íóëþ. Íî, ïî îïðåäåëåíèþ êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ ïðàâ-
äîïîäîáèÿ, ðàâåíñòâî ϕ∗ (x(n) ) = 1 âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå f1,n (x(n) ) −
Cf0,n (x(n) ) > 0. Òî÷íî òàêæå óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî íåðàâåíñòâî ϕ∗ (x(n) ) −
ϕ(x(n) ) < 0 âëå÷åò f1,n (x(n) ) − Cf0,n (x(n) ) < 0.
   Èòàê, êðèòåðèé ϕ∗ íàèáîëåå ìîùåí â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ, ðàçìåð êîòî-
ðûõ íå ïðåâîñõîäèò ðàçìåðà ϕ∗ . Åñëè æå E 0 ϕ∗ (X (n) ) = α, òî ýòî óòâåðæäå-
íèå, î÷åâèäíî, âëå÷åò åãî íàèáîëüøóþ ìîùíîñòü â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ
óðîâíÿ α.

   Ïðèìåíåíèå ýòîé òåîðåìû ê ïîñòðîåíèþ ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ
êðèòåðèåâ ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íà îäíîì ÷àñòíîì ïðèìåðå, èç êîòîðîãî
áóäåò âèäåí îáùèé ïîäõîä ê äàííîé çàäà÷å.
   Ï ð è ì å ð 8.1. Ïðîâåðêà íàäåæíîñòè ïðè ïîêàçàòåëüíîì ðàñïðåäåëåíèè
äîëãîâå÷íîñòè.  ïðèìåðå 3.3 ìû ðàññìàòðèâàëè ïðîáëåìó îöåíêè íàäåæ-
íîñòè èçäåëèÿ ñ ïîêàçàòåëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì äîëãîâå÷íîñòè. Íàïîìíèì,
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, ðåàëèçàöèÿ x êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ïðîìåæóòêó
âðåìåíè îò íà÷àëà ðàáîòû äî ìîìåíòà îòêàçà íåêîòîðîãî èçäåëèÿ, íàçûâà-
åòñÿ äîëãîâå÷íîñòüþ, è ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), x ≥ 0 ñëó÷àéíîé


                                                        242

Страницы