Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3
0
.
H
0
: µ ≤ µ
0
H
1
: µ > µ
0
. X
µ,
T =
X − µ
0
S
√
n − 1
µ µ
0
,
µ ≤ µ
0
,
T > C, C, α.
m(µ; σ) = P
µ,σ
(T > C) T > C.
m(µ; σ) µ
σ,
α(µ; σ) = m(µ : σ), µ ≤ µ
0
σ µ = µ
0
.
4
0
α = m(µ
0
; σ) = P
µ
0
,σ
(T > C) = 1 − S
n−1
(C), S
ν
(·)
ν
σ T > C(α)
α C(α) = S
−1
n−1
(1 − α).
t
P
µ,σ
(T > C)
µ σ
  30 . Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î âåëè÷èíå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè (îäíî-
âûáîðî÷íûé êðèòåðèé Ñòüþäåíòà). Âû, íàâåðíîå, îáðàòèëè âíèìà-
íèå, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè êðèòåðèåâ çíà÷èìîñòè ìû ïî ñóùåñòâó èñïîëüçó-
åì ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ ìíîæåñòâ? Ýòî, äåéñòâèòåëüíî, òàê
 ìåæäó çàäà÷àìè äîâåðèòåëüíîé îöåíêè è ïðîâåðêè ãèïîòåç ñóùåñòâóåò
ìíîãî îáùåãî, è, ðåøèâ îäíó çàäà÷ó, ìû ñðàçó æå ïîëó÷àåì ðåøåíèå äðó-
ãîé. Â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà ìû ôîðìàëèçóåì ýòîò ïàðàëëåëèçì, à ïîêà
áóäåì èñïîëüçîâàòü åãî íà èíòóèòèâíîì óðîâíå: ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòà-
òèñòèêó Ñòüþäåíòà.
   Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà çàäà÷ó ïðîâåðêè ñëîæíîé ãèïîòåçû H0 : µ ≤ µ0
ïðè ñëîæíîé àëüòåðíàòèâå H1 : µ > µ0 . Òàê êàê âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X
åñòü ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà çíà÷åíèÿ µ, òî ñòàòèñòèêà Ñòüþäåíòà

                                  X − µ0 √
                            T =            n−1
                                    S
îïîñðåäñòâåííî, ÷åðåç âûáîðî÷íûå äàííûå, õàðàêòåðèçóåò óäàëåííîñòü èñ-
òèííîãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ µ îò ãðàíèöû µ0 , ðàçäåëÿþùåé ãèïîòåçó è àë-
òåðíàòèâó. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ îòâåðãàòü íóëåâóþ ãèïîòåçó µ ≤ µ0 , åñ-
ëè T > C, âûáèðàÿ C, êàê îáû÷íî, ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α.
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñëåäíåé çàäà÷è íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ôóíê-
öèè ìîùíîñòè m(µ; σ) = Pµ,σ (T > C) êðèòåðèÿ T > C. Åñëè ìû ïî-
êàæåì, ÷òî m(µ; σ) åñòü ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà µ
ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà σ, òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α(µ; σ) = m(µ : σ), µ ≤ µ0 ïðè êàæ-
äîì ôèêñèðîâàííîì σ áóäåò äîñòèãàòüñÿ â òî÷êå µ = µ0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
ðàçìåð êðèòåðèÿ â òàêîì ñëó÷àå áóäåò ðàâåí (ñì. ïóíêò 40 ïðåäûäóùåãî
ïàðàãðàôà) α = m(µ0 ; σ) = Pµ0 ,σ (T > C) = 1 − Sn−1 (C), ãäå Sν (·)  ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ ν ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, ìû
ïîëó÷èì ñâîáîäíûé îò íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ σ êðèòåðèé T > C(α) òðå-
                                                           −1
áóåìîãî ðàçìåðà α ñ êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòîé C(α) = Sn−1        (1 − α). Ýòî
è åñòü òî ñòàòèñòè÷åñêîå ïðàâèëî, êîòîðîå îáû÷íî íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì
Ñòüþäåíòà èëè t-êðèòåðèåì.
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âåðîÿòíîñòü (ôóíêöèÿ ìîùíîñòè) Pµ,σ (T > C)
ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì µ ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ σ


                                    234

Страницы