Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 232 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

m(µ) µ,
α = max
µ≤µ
0
m(µ) = m(µ
0
) = 1 − Φ
µ
C − µ
0
σ
√
n
.
α,
C(α) = µ
0
+ Φ
−1
(1 − α)σ/
√
n.
α
β(µ) = P
µ
(X ≤ C(α)) = Φ
µ
C(α) − µ
σ
√
n
=
Φ
µ
µ
0
− µ
σ
√
n + Φ
−1
(1 − α)
, µ > µ
0
, (1)
µ µ
0
.
β(µ) µ = µ
0
1 − α.
n,
(µ
0
, µ
1
),
µ ∈ (µ
0
, µ
1
) H
0
µ ≥ µ
1
H
0
β.
n, β(µ
1
) ≤ β.
β(µ), n = n(α, β, µ
0
, µ
1
),
µ ≤ µ
0
µ ≥ µ
1
α
β
n,
n ≥
£
Φ
−1
(1 − α) + Φ
−1
(1 − β)
¤
2
(µ
1
− µ
0
)
2
σ
2
.
H
0
: µ = µ
0
H
1
: µ 6= µ
0
.
|X − µ
0
| > C.
m(µ) = 1 −
·
Φ
µ
C + µ
0
− µ
σ
√
n
− Φ
µ
−C + µ
0
− µ
σ
√
n
¸
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî m(µ)  ñòðîãî âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì µ, òàê ÷òî ðàçìåð
êðèòåðèÿ                                  µ           ¶
                                                  C − µ0 √
              α = max m(µ) = m(µ0 ) = 1 − Φ                 n .
                    µ≤µ0                             σ
Ïðèðàâíèâàÿ ðàçìåð êðèòåðèÿ óðîâíþ çíà÷èìîñòè α, íàõîäèì êðèòè÷åñêîå
                                      √
çíà÷åíèå C(α) = µ0 + Φ−1 (1 − α)σ/ n.
   Âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà íàøåãî êðèòåðèÿ ðàçìåðà α
                                            µ               ¶
                                               C(α) − µ √
                 β(µ) = Pµ (X ≤ C(α)) = Φ                 n =
                                                  σ
                      µ                         ¶
                        µ0 − µ √      −1
                    Φ            n + Φ (1 − α) , µ > µ0 ,                (1)
                           σ
óáûâàåò ñ ðîñòîì µ ïî ìåðå åå îòõîäà îò ãðàíè÷íîãî çíà÷åíèÿ µ0 . Íàè-
áîëüøåå çíà÷åíèå β(µ) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå µ = µ0 è ðàâíî 1 − α. Ýòî
çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò ðàçìåðà âûáîðêè n, è ïîýòîìó òðåáóþòñÿ äîïîëíè-
òåëüíûå ñîîáðàæåíèÿ ïðè ïëàíèðîâàíèè îáúåìà íàáëþäåíèé. Îáû÷íî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ìåòîä ââåäåíèÿ òàê íàçûâàåìîé çîíû áåçðàçëè÷èÿ  èíòåðâàëà
(µ0 , µ1 ), êîòîðûé âûáèðàåòñÿ èç òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òî ïðè èñòèííîì çíà-
÷åíèè µ ∈ (µ0 , µ1 ) ïðèíÿòèå íóëåâîé ãèïîòåçû H0 íå ïðèâîäèò ê ñëèøêîì
òÿæåëûì ïîñëåäñòâèÿì. Îäíàêî ïðè èñòèííîì µ ≥ µ1 âåðîÿòíîñòü ïðèíÿ-
òèÿ H0 äîëæíà áûòü ïîä êîíòðîëåì è íå ïðåâîñõîäèòü íåêîòîðîãî ïðåä-
ïèñàííîãî çíà÷åíèÿ β. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ñïëàíèðîâàòü îáúåì
âûáîðêè n, îïðåäåëèâ åãî èç íåðàâåíñòâà β(µ1 ) ≤ β. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
(1) äëÿ β(µ), íàõîäèì, ÷òî îáúåì âûáîðêè n = n(α, β, µ0 , µ1 ), íåîáõîäèìûé
äëÿ ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç µ ≤ µ0 è µ ≥ µ1 ñ çàäàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè α
è β íà âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, ðàâåí íàèìåíüøåìó
öåëîìó n, óäîâëåòâîðÿþùåìó íåðàâåíñòâó
                          £ −1                       ¤2
                            Φ (1 − α) + Φ−1 (1 − β)
                     n≥                      2
                                                        σ2.
                                   (µ1 − µ0 )

   Àíàëîãè÷íûì ìåòîäîì ñòðîèòñÿ êðèòåðèé äëÿ ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïî-
òåçû H0 : µ = µ0 ïðè ñëîæíîé àëüòåðíàòèâå H1 : µ 6= µ0 . Â ýòîé çàäà-
÷å åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü ïîñðåäñòâîì íåðàâåíñòâà
| X − µ0 | > C. Ôóíêöèÿ ìîùíîñòè òàêîãî êðèòåðèÿ
                   ·   µ          ¶   µ                ¶¸
                    C + µ0 − µ √        −C + µ0 − µ √
       m(µ) = 1 − Φ              n −Φ                 n
                        σ                   σ
                                    232

Страницы