Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α = sup
θ∈Θ
0
α(θ)
ϕ, α = α, ϕ
α
α.
S
H
0
100α%
θ.
θ
H
0
: θ = θ
0
H
1
: θ 6= θ
0
, θ
0
θ
θ
θ
0
= 3/4
ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
) θ,
n → ∞ O(1/
√
n),
√
n|
ˆ
θ
n
(X
(n)
)−θ
0
| > C.
α(θ
0
, C) = P
θ
0
(
√
n|
ˆ
θ
n
(X
(n)
) −
θ
0
| > C), α,
îøèáêè ïåðâîãî ðîäà
                                α = sup α(θ)
                                    θ∈Θ0
íàçûâàåòñÿ ðàçìåðîì êðèòåðèÿ ϕ, è åñëè α = α, òî ãîâîðÿò î êðèòåðèè ϕ
ðàçìåðà α.
     ýòîì âûáîðå îãðàíè÷åíèÿ èìåííî íà âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî, à íå
âòîðîãî ðîäà ïðîÿâëÿåòñÿ òèïè÷íàÿ àñèììåòðèÿ â ïðàêòè÷åñêîé öåííîñòè
ãèïîòåçû è àëüòåðíàòèâû. Íàïðèìåð, åñëè ïðîâåðÿåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü íî-
âîãî ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà, òî íóëåâîé ãèïîòåçå äîëæíî ñîîòâåòñòâî-
âàòü ðåøåíèå î åãî íåýôôåêòèâíîñòè, èáî, îòêëîíèâ ýòó ãèïîòåçó, êîãäà
îíà âåðíà, ìû âíåäðèì â ëå÷åáíóþ ïðàêòèêó áåñïîëåçíîå èëè âðåäíîå ëå-
êàðñòâî, ÷òî ïðèâåäåò ê áîëåå òÿæêèì ïîñëåäñòâèÿì, ÷åì îòêëîíåíèå â
äåéñòâèòåëüíîñòè ýôôåêòèâíîãî ïðåïàðàòà. Íî åñëè ìû èùåì çîëîòî, àíà-
ëèçèðóÿ ñîñòàâ êåðíîâ ïðè áóðåíèè ïðåäïîëàãàåìîãî ìåñòîðîæäåíèÿ, òî
åñòåñòâåííî ïðèíÿòü çà íóëåâóþ ãèïîòåçó óòâåðæäåíèå î íàëè÷èè çîëîòà,
èáî îòêëîíèâ åå, êîãäà îíà âåðíà, ìû ïîòåðÿåì íàìíîãî áîëüøå, ÷åì ñòîè-
ìîñòü íåñêîëüêèõ äîïîëíèòåëüíûõ àíàëèçîâ, óäîñòîâåðÿþùèõ, ÷òî çîëîòî
â ðàçáóðåííîé ìåñòíîñòè îòñóòñòâóåò.
    Ñëåäóåò òàêæå îáðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå íà îáùóþ ìåòîäîëîãèþ ïðî-
âåðêè ãèïîòåç, îòðàæàåìóþ â âûáîðå ìàëîãî çíà÷åíèÿ óðîâíÿ α. Åñëè íàøè
âûáîðî÷íûå äàííûå ïîïàäàþò â îáëàñòü S ñ èñêëþ÷èòåëüíî ìàëîé âåðîÿò-
íîñòüþ, òî åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òî óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ïðèâå-
ëî ê ýòîìó ìàëîâåðîÿòíîìó ñîáûòèþ, íå ñîîòâåòñòâóåò èñòèíå è îòêëîíèòü
åãî. Ïîñòóïàÿ òàêèì îáðàçîì, ìû áóäåì òåðÿòü â äåéñòâèòåëüíîñòè âåðíóþ
ãèïîòåçó H0 êðàéíå ðåäêî  íå áîëåå, ÷åì â 100α% ñëó÷àåâ.
    Ïðîñòåéøèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèåâ çíà÷èìîñòè ñîñòîèò â èñïîëü-
çîâàíèè ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê òåñòèðóåìîãî ïàðàìåòðà θ. Ðàññìîòðèì ïðî-
ñòåéøèé ñëó÷àé: θ  ñêàëÿðíûé ïàðàìåòð, âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü íå ñî-
äåðæèò äðóãèõ (ìåøàþùèõ) ïàðàìåòðîâ è ïðîâåðÿåòñÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà
H0 : θ = θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : θ 6= θ0 , ãäå θ0  íåêîòîðîå, àïðèîðè
ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ (íàïðèìåð, â îïûòàõ Ìåíäåëÿ ïðîâå-
ðÿåòñÿ ãèïîòåçà: âåðîÿòíîñòü θ íàñëåäîâàíèÿ äîìèíàíòíîãî ïðèçíàêà ðàâíà
θ0 = 3/4). Åñëè θ̂n = θ̂n (X (n) )  ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà θ, äèñïåðñèÿ êîòîðîé
                                            √
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞ êàê O(1/ n), òî åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êðè-
                                                √
òè÷åñêóþ îáëàñòü ïîñðåäñòâîì íåðàâåíñòâà n| θ̂n (X (n) )−θ0 | > C. Âåðîÿò-
                                                                 √
íîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà òàêîãî êðèòåðèÿ α(θ0 , C) = P θ0 ( n| θ̂n (X (n) ) −
θ0 | > C), è ïðèðàâíèâàÿ ýòó âåðîÿòíîñòü çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α,

                                     230

Страницы