Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R,
∆
n
σ(θ) σ(
ˆ
θ
n
).
σ(θ), θ ∈ Θ,
ξ
n
∝ σ(
ˆ
θ
n
) →
P
σ(θ)),
n → ∞
P
θ
Ã
ˆ
θ
n
−
λ
α
σ(
ˆ
θ
n
)
√
n
≤ θ ≤
ˆ
θ
n
+
λ
α
σ(
ˆ
θ
n
)
√
n
!
−→ 1 − α.
5
0
.
X,
p
1 − p, p
X = n
−1
X
n
1
X
k
n nX
B(n, p),
p 1 − α,
n nx
p
p(1 − p)/n. (1 − α) ∆
n
=
n
p : 0 ≤ p ≤ 1, |X − p | ≤ λ
α
p
p(1 − p)/n
o
.
p,
n
n + λ
2
α
X +
λ
2
α
2n
± λ
α
s
X(1 − X)
n
+
λ
2
α
4n
2
,
n
X ± λ
α
q
X(1 − X)/n, σ
2
(p) =
p(1 − p) X(1 − X) :
ê óïîòðåáëåíèþ ïîäìíîæåñòâî R, òî ìîæíî ïîéòè íà äàëüíåéøèå óïðî-
ùåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî óòâåðæäåíèÿ, çàìåíèâ â îïðåäåëåíèè ∆n ïàðà-
ìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ σ(θ) íà åå îöåíêó σ(θ̂n ). Äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü
íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè σ(θ), θ ∈ Θ, ÷òîáû, ññûëàÿñü íà òåîðåìó Ñëóöêî-
ãî (ïðåäëîæåíèå 11.1 êóðñà ÒÂ ñ ξn ∝ σ(θ̂n ) → σ(θ)), óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè
                                                  P
n→∞
                Ã                                          !
                        λα σ(θ̂n )            λα σ(θ̂n )
           Pθ   θ̂n −     √        ≤ θ ≤ θ̂n + √               −→ 1 − α.
                            n                     n

   Ïðîèëëþñòðèðóåì ðàáîòó ýòîãî ìåòîäà íà äâóõ ïîëåçíûõ â ïðàêòè÷å-
ñêîì îòíîøåíèè ïðèìåðàõ.

   50 . Àñèìïòîòè÷åñêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿò-
íîñòè óñïåõà â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëè. Â ñõåìå èñïûòàíèé Áåðíóë-
ëè  âûáîðå èç ðàñïðåäåëåíèÿ áèíàðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, ïðèíè-
ìàþùåé çíà÷åíèå 1 (óñïåõ ) ñ âåðîÿòíîñòüþ p è çíà÷åíèå 0 (íåóäà÷à )
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − p, îïòèìàëüíîé
                          Xn       íåñìåùåííîé îöåíêîé p ÿâëÿåòñÿ âû-
áîðî÷íîå ñðåäíåå X = n−1      Xk èëè, ÷òî òî æå, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà
                                  1
óñïåøíûõ èñõîäîâ â n èñïûòàíèÿõ. Ñòàòèñòèêà nX èìååò áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå B(n, p), è ýòî ïîçâîëÿåò íàñ÷èòàòü òàáëèöû äîâåðèòåëüíûõ
ïðåäåëîâ äëÿ p ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äîâåðèòåëüíîãî óðîâíÿ 1 − α,
îáúåìà âûáîðêè n è ÷èñëà óñïåøíûõ èñõîäîâ nx (ñì., íàïðèìåð, ÒÌÑ).
×òî æå äàåò àñèìïòîòè÷åñêèé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíûõ èíòåð-
âàëîâ?
   Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíî ñî ñðåäíèì p è äèñ-
ïåðñèåé p(1 − p)/n. Ñëåäîâàòåëüíî, (1 − α)
n                                        o -äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü ∆n =
                              p
 p : 0 ≤ p ≤ 1, | X − p | ≤ λα p(1 − p)/n . Ðàçðåøàÿ íåðàâåíñòâà â ôè-
ãóðíûõ ñêîáêàõ îòíîñèòåëüíî p, ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
                                      s                
                  n          λ2α        X(1 − X)   λ2α 
                         X +      ± λα            +       ,
               n + λ2α        2n            n       4n2

êîòîðûé ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ
                         q èñïûòàíèé n ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò äîâåðè-
òåëüíîãî èíòåðâàëà X ± λα    X(1 − X)/n, ïîëó÷åííîãî çàìåíîé σ 2 (p) =
p(1 − p) íà åå îöåíêó X(1 − X) :


                                        225

Страницы