Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L(a, λ |X
(n)
) = −nλ ln a − n ln Γ(λ) + (λ − 1)
n
X
1
ln X
k
−
1
a
n
X
1
X
k
.
∂L
∂a
= −
nλ
a
+
1
a
2
n
X
1
X
k
= 0,
∂L
∂λ
= −n ln a − nψ(λ) +
n
X
1
ln X
k
= 0,
ψ(λ) = d ln Γ(λ)/dλ
a
ln λ − ψ(λ) = ln X −
1
n
n
X
1
ln X
k
,
ln λ − ψ(λ)
(λ → ∞)
ln λ − ψ(λ) =
1
2λ
+
1
12λ
2
+ O
µ
1
λ
4
.
x y
y = a + bx, y
a b
x
y
Y = a + bx + ξ,
ξ
σ
2
,
Y x;
x (a + bx, σ
2
).
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è ëîãàðèôìè÷åñêîå
ïðàâäîïîäîáèå
                                                             n
                                                             X                  n
                 (n)                                                          1X
    L(a, λ | X         ) = −nλ ln a − n ln Γ(λ) + (λ − 1)             ln Xk −     Xk .
                                                                 1
                                                                              a 1

  Ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ:
                                                 n
                              ∂L    nλ   1 X
                                 =−    + 2   Xk = 0,
                              ∂a     a  a 1

                                                X    n
                         ∂L
                            = −n ln a − nψ(λ) +   ln Xk = 0,
                         ∂λ                     1
ãäå ψ(λ) = d ln Γ(λ)/dλ  òàê íàçûâàåìàÿ ïñè-ôóêöèÿ Ýéëåðà. Èñêëþ÷àÿ
èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïàðàìåòð a è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âî
âòîðîå, ïîëó÷àåì òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå
                                                         n
                                                1X
                           ln λ − ψ(λ) = ln X −     ln Xk ,
                                                n 1

êîòîðîå â ñèëó ñâîéñòâà ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ln λ − ψ(λ) èìååò åäèí-
ñòâåííîå ðåøåíèå. Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò îêà-
çàòüñÿ ïîëåçíîé àñèìïòîòè÷åñêàÿ (λ → ∞) ôîðìóëà
                                                             µ        ¶
                                         1   1                   1
                          ln λ − ψ(λ) =    +    +O                        .
                                        2λ 12λ2                  λ4

   Ï ð è ì å ð 4. 3. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ñòðóêòóðèðîâàííîãî ñðåäíåãî ïðè
íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè îòêëèêà. Äàííàÿ çàäà÷à âåñüìà ÷àñòî âîçíèêà-
åò ïðè êàëèáðîâêå øêàëû ïðèáîðà. Äâå ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ëèíåé-
íûì ñîîòíîøåíèåì y = a + bx, è äëÿ ãðàäóèðîâêè çíà÷åíèé y íà øêàëå
ïðèáîðà íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ a è b ýòîé çàâèñèìîñòè.
Îäíàêî, äëÿ êàæäîãî ñòàíäàðòíîãî ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ x ïðèáîð çà-
ìåðÿåò çíà÷åíèå y ñ îøèáêîé, òàê ÷òî çàìåðû ïðîèñõîäÿò â ðàìêàõ âåðî-
ÿòíîñòíîé ìîäåëè Y = a + bx + ξ, ãäå îøèáêà èçìåðåíèÿ (ñëó÷àéíàÿ âåëè-
÷èíà) ξ èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûì ñðåäíèì è íåêîòîðîé
äèñïåðñèåé σ 2 , çíà÷åíèå êîòîðîé, êàê ïðàâèëî, òàêæå íå èçâåñòíî. Ñëó÷àé-
íàÿ âåëè÷èíà Y îáû÷íî íàçûâàåòñÿ îòêëèêîì íà çíà÷åíèå ðåãðåññîðà x; åå
ðàñïðåäåëåíèå ïðè ôèêñèðîâàííîì x î÷åâèäíî íîðìàëüíî (a + bx, σ 2 ).

                                           199

Страницы