Лекции по теории вероятностей и математической статистике. Володин И.Н. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L(θ |X
(n)
) = ln f
n
(X
(n)
|θ) = −
n
2
ln 2π − n ln σ −
1
2σ
2
X
n
1
(X
k
− µ)
2
.
∂L
∂µ
=
1
2σ
2
X
n
1
(X
k
− µ) = 0,
∂L
∂σ
= −
n
σ
+
1
σ
3
X
n
1
(X
k
− µ)
2
= 0.
µ : ˆµ
n
= X.
X µ σ : ˆσ
n
= S
(X, S)
X S
2
µ σ
2
,
L(θ |X
(n)
) =
n
Y
i=1
f(X
i
|θ)
Θ
L(θ
0
|x
(n)
) X
(n)
= x
(n)
θ = θ
0
θ
0
x
(n)
.
ˆ
θ
n
=
ˆ
θ
n
(X
(n)
)
Θ,
θ.
θ,
L(θ |X
(n)
) =
n
X
i=1
ln f(X
i
|θ)
ìàêñèìóì ôóíêöèè

             (n)                  (n)           n                 1 Xn
   L(θ | X         ) = ln fn (X         | θ) = − ln 2π − n ln σ − 2    (Xk − µ)2 .
                                                2                2σ  1

  Ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå òî÷êè ýêñòðåìóìà:
                              ∂L   1 Xn
                                 = 2    (Xk − µ) = 0,
                              ∂µ  2σ  1

                   ∂L      n    1 Xn
                       =− + 3            (Xk − µ)2 = 0.
                   ∂σ      σ σ         1

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó íàõîäèì îöåíêó ïàðàìåòðà µ : µ̂n = X. Ïîä-
ñòàâëÿÿ X âìåñòî µ âî âòîðîå óðàâíåíèå, íàõîäèì îöåíêó σ : σ̂n = S
(âûáîðî÷íîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå). Î÷åâèäíî, (X, S)  òî÷êà ìàêñèìó-
ìà. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïðèâîäèò ê òåì
æå îöåíêàì X è S 2 ïàðàìåòðîâ µ è σ 2 , ÷òî è ìåòîä ìîìåíòîâ.
   Òåïåðü äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ïðàâäîïîäîáèÿ è ðàññìîòðèì åùå
íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, â êîòîðûõ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äà-
åò îöåíêè, îòëè÷íûå îò ìåòîäà ìîìåíòîâ.
  Îïðåäåëåíèå 4.1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ
                                                        n
                                                        Y
                                             (n)
                                   L(θ | X         )=         f (Xi | θ)
                                                        i=1

íà ïàðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Θ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ,
à çíà÷åíèå åå ðåàëèçàöèè L(θ0 | x(n) ) ïðè ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèÿ X (n) = x(n)
è ôèêñèðîâàííîì θ = θ0  ïðàâäîïîäîáèåì çíà÷åíèÿ θ0 ïðè ðåçóëüòàòå
x(n) . Ëþáàÿ òî÷êà θ̂n = θ̂n (X (n) ) (ñòàòèñòèêà) ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàí-
ñòâà Θ, äîñòàâëÿþùàÿ àáñîëþòíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ, íà-
çûâàåòñÿ îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà θ.
   Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå
ôóíêöèé îò θ, òî ïðè îòûñêàíèè åå ìàêñèìóìà ìåòîäàìè äèôôåðåíöèàëü-
íîãî èñ÷èñëåíèÿ óäîáíåå èìåòü äåëî ñ ëîãàðèôìîì ýòîé ôóíêöèè. Åñòå-
ñòâåííî, òî÷êè ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèè ëîãàðèôìè÷åñêîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
                                                      n
                                                      X
                                           (n)
                              L(θ | X            )=         ln f (Xi | θ)
                                                      i=1



                                                    197

Страницы